XV OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Rozłożyć na czynniki wielomian

$ P(x, y, z) = (x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5 $

Rozwiązanie

Funkcję $P (x, y, z)$ możemy traktować jako wielomian stopnia $5$ względem $x$ . Wielomian ten dla $x = y$ równa się zeru, jest on zatem podzielny przez $x - y$ . Analogicznie stwierdzamy, że $P (x, y, z)$ jest podzielne przez $y - z$ i przez $z - x$ . Zatem

$ (1) \qquad P (x, y, z) = (x- y) (y - z) (z - x) \cdot Q (x, y, z) $

gdzie $Q (x, y, z)$ jest wielomianem stopnia drugiego zmiennych $x$ , $y$ , $z$ . Ponieważ wielomiany $P (x, y, z)$ i $(x - y)(y - z)(z - x)$ są jednorodne względem $x$ , $y$ , $z$ , a przy dowolnej permutacji zmiennych $x$ , $y$ , $z$ , bądź oba pozostają bez zmiany, bądź oba zmieniają znak, więc wielomian $Q (x, y, z)$ będący ich ilorazem, jest jednorodny i symetryczny względem $x$ , $y$ , $z$ , tzn.

$ Q (x, y,z) = a (x^2 + y^2 + z^2) + b (xy + yz + zx). $

Współczynniki $a$ i $b$ znajdziemy, podstawiając do równości (1) zamiast $x$ , $y$ , $z$ wartości liczbowe. Na przykład dla $x = 0$ , $y = 1$ , $z = - 1$ otrzymamy z (1) równanie $2a-b = 15$ , biorąc zaś $x = 0$ , $y = 1$ , $z = 2$ , otrzymamy $5a+2b = 15$ . Stąd $a = 5$ , $b = - 5$ , wobec czego

$ (2) \qquad (x-y)^5 + (y-z)^5+(z-x)^5 = 5(x-y) (y-z) (z - x) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx). $

Trzeba jeszcze zbadać, czy wielomian $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx$ jest iloczynem czynników stopnia pierwszego.

Ponieważ wielomian ten jest jednorodny względem zmiennych $x$ , $y$ , $z$ , więc jego czynniki też musiałyby być jednorodne względem tych zmiennych i poszukiwany rozkład miałby postać

$ (3) \qquad x^2 + y^2+ z^2 - xy - yz - zx = (mx + ny + pz) (m_1x + n_1y + p_1z) $

Podstawiając do równości (3) $y = 1$ , $z = 0$ , otrzymujemy

$ (4) \qquad x^2 - x + 1 = (mx + n) \cdot (m_1x + n_1). $

Dla rzeczywistych wartości $m$ , $n$ , $m_1$ , $n_1$ rozkład (4) jest niemożliwy, gdyż wyróżnik trójmianu $x^2 - x + 1$ jest ujemny. Zatem w zbiorze liczb rzeczywistych rozwiązanie zadania przedstawia wzór (2).

W zbiorze liczb zespolonych jest inaczej, gdyż

$ x^2 - x + 1 = (x + \varepsilon) (x + \varepsilon^2) $

gdzie

$ \varepsilon = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}. $

Stąd wnioskujemy, że jeżeli rozkład (3) jest możliwy, to istnieje rozkład postaci

$ (5) \qquad x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = (x + \varepsilon y + pz) (x + \varepsilon^2y + p_1z). $

Podstawiając do (5) wartości $y = 0$ , $z = 1$ , otrzymujemy

$ x^2 - x + 1 = (x + p) (x + p_1), $

zatem albo: a) $p = \varepsilon$ , $p_1 = \varepsilon^2$ , albo b) $p = \varepsilon^2$ , $p_1 = \varepsilon$ .

Podstawiając te wartości do (5) stwierdzamy, że dla wartości a) równość (5) nie jest prawdziwa, zachodzi ona natomiast dla wartości b). Ostatecznie otrzymujemy wzór

$ (6) \qquad (x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5 = 5 (x - y) (y - z) (z - x) (x + \varepsilon y + \varepsilon^2z) (x + \varepsilon^2y + \varepsilon z). $

Uwaga. Stosując rozumowanie analogiczne do powyższego, znajdziemy, że

$ x^2 + y^2 + z^2 + xy - yz + zx = (x - \varepsilon y - \varepsilon^2z) (x - \varepsilon^2y - \varepsilon z). $

Natomiast wielomian $x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx$ jest nieprzywiedlny w zbiorze liczb zespolonych, tzn. nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach zespolonych. Proponujemy Czytelnikowi szczegółowe przeprowadzenie dowodu.