XV OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu obrać po jednym punkcie w taki sposób, żeby suma kwadratów boków utworzonego przez nie trójkąta była najmniejsza.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie podstawą sześcianu oraz $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , $DD_1$ jego krawędziami prostopadłymi do $ABCD$ . Niech $X$ , $Y$ , $Z$ będą punktami obranymi na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu. Wiadomo, że obracając sześcian dokoła pewnych osi, przechodzących przez jego środek, można nałożyć sześcian na siebie w ten sposób, że dowolnie obrana krawędź pokryje dowolną inną krawędź. Możemy więc bez szkody dla ogólności rozumowania przyjąć, że punkt $X$ leży na krawędzi $A_1$ . Krawędziami skośnymi do $AA_1$ są $BC$ , $CD$ , $B_1C_1$ , $C_1D_4$ . (rys. 8); spośród nich wzajemnie skośne są $BC$ i $C_1D_1$ oraz $B_1C_1$ i $CD$ . Mamy więc dwie trójki krawędzi parami skośnych: $AA_1$ , $BC$ , $C_1D_1$ i $AA_1$ , $B_1C_1$ , $CD$ , przy czym przechodzą one jedna na drugą przy przekształceniu sześcianu przez symetrie względem płaszczyzny $AA_1C_1C$ , będącej płaszczyzną symetrii sześcianu. Możemy więc przyjąć, że rozważaną trójką krawędzi parami skośnych jest trójka $AA_1$ , $BC$ , $C_1D_1$ i że np. punkt $Y$ leży na $BC$ a punkt $Z$ na $C_1D_1$ . Niech $AX = x$ , $BY = y$ , $C_1Z = z$ , $AA_1 = a$ . Wówczas

$ XY^2 = a^2 + x^2 + y^2, $

$ YZ^2 = (a - y)^2 + a^2 + z^2, $

$ ZX^2 = a^2 + (a - x)^2 + (a - z)^2, $

zatem

$ \begin{split} XY^2 + YZ^2 + ZX^2 & = 2(x^2 + y^2 + z^2) - 2a(x + y + z) + 6a^2 = \\ & = 2 [( x- \frac{a}{2} )^2 + (y-\frac{a}{2})^2 + (z- \frac{a}{2} )^2 + \frac{9}{4} a^2 ]. \end{split} $

Z otrzymanego wzoru jest widoczne, że suma kwadratów boków trójkąta $XYZ$ osiąga minimum, gdy $x= y = z = \frac{a}{2}$ , tj. gdy punkty $X$ , $Y$ , $Z$ obierzemy w środkach odpowiednich krawędzi. Minimum to równa się $\frac{9}{2} a^2$ .