XV OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Dowieść, że iloraz sumy wszystkich dzielników naturalnych liczby calkowitej $n > 1$ przez liczbę tych dzielników jest większy od $\sqrt{n}$ .

Rozwiązanie

Niech $d_1, d_2, \ldots, d_s$ oznaczają wszystkie dzielniki naturalne danej liczby całkowitej $n > 1$ . Wśród tych dzielników znajdują się na pewno liczby nierówne, na przykład $1$ i $n$ . Według nierówności Cauchy'ego średnia arytmetyczna liczb dodatnich, które nie są wszystkie sobie równe, jest większa od średniej geometrycznej tych liczb, zatem

$ (1) \qquad \frac{d_1 + d_2 + \ldots + d_s}{s} > (d_1d_2\ldots d_s)^{\frac{1}{s}}. $

Udowodnimy, że prawa strona tej nierówności jest równa $\sqrt{n}$ .W tym celu rozróżnimy dwa przypadki:

1. Liczba $n$ nie jest kwadratem liczby całkowitej. W zbiorze liczb $d_1, d_2, \ldots, d_s$ do każdej liczby $d_i$ istnieje wówczas różna od niej liczba $d_k = \frac{n}{d_i}$ , wobec czego liczba $s$ jest parzysta i zbiór $\{d_1,d_2, \ldots,d_s\}$ można podzielić na $\frac{s}{2}$ takich par, że iloczyn liczb każdej pary równa się $n$ . W takim razie

$ (d_1d_2 \ldots d_s)^\frac{1}{s} = \left( n^{\frac{s}{2}} \right)^{\frac{1}{s}} = n^{\frac{1}{2}}. $

2. Liczba $n$ jest kwadratem liczby naturalnej $d_r$ . Do każdej liczby $d_i$ zbioru $\{d_1, d_2, \ldots, d_s\}$ różnej od $d_r$ istnieje wówczas liczba $d_k = \frac{n}{d_i}$ różna od $d_i$ , wobec czego liczba $s - 1$ jest parzysta i zbiór liczb $\{ d_1, \ldots d_{r-1}, d_{r+1} \ldots, d_s\}$ można podzielić na $\frac{s-1}{2}$ par o iloczynie równym $n$ . W takim razie