XVIII ZMPB - Zadanie 17

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Niech $x$ , $y$ , $z$ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że liczba

$ {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x} $

jest całkowita. Niech $d$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $x$ , $y$ oraz $z$ . Udowodnić, że

$ d\le\sqrt[3]{xy+yz+zx}. $

Rozwiązanie

Na mocy założeń zadania istnieją takie liczby całkowite $a$ , $b$ , $c$ , że

$ x=da,\quad y=db,\quad z=dc. $

Liczba

$ \begin{split} {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x}&= {x^2z+y^2x+z^2y+xz+yx+zy\over xyz}=\\ &={d^3(a^2c+b^2a+c^2b)+d^2(ac+cb+ba)\over d^3abc} \end{split} $

jest całkowita, zatem licznik ułamka stojącego po prawej stronie powyższej równości jest liczbą podzielną przez $d^3$ . Wynika stąd, że liczba $ac+cb+ba$ jest podzielna przez $d$ . Otrzymujemy więc

$ d\le ac+cb+ba={xy+yz+zx\over d^2},\qquad\hbox{czyli}\qquad d^3\le xy+yz+zx, $

co jest równoznaczne z tezą zadania.