XV OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Znaleźć $n$ -ty wyraz ciągu liczb $a_1, a_2, a_n, \ldots$ , w którym $a_1 = 1$ , $a_2 = 3$ , $a_3 = 6$ oraz dla każdego naturalnego $k$

$ (1) \qquad a_{k-3}-3a_{k-2}+3a_{k-1}-a_k=0. $

Rozwiązanie

Równość (1) możemy napisać w postaci

$ (a_{k+3} - a_{k+2}) - 2 (a_{k+2} - a_{k+1}) + (a_{k+1} -a_k) = 0. $

Oznaczmy $a_{i+1} - a_i = r_i$ dla $i = 1, 2, 3, \ldots$ ; według powyższej równości, $r_{k+2} - 2r_{k+1} + r_k = 0$ , skąd $r_{k+2} - r_{k+1}= r_{k+1} - r_k$ .

Ciąg różnic $r_k$ jest więc postępem arytmetycznym. Ponieważ $r_1 = a_2 - a_1 = 2$ oraz $r_2 = a_3 - a_2 = 3$ , więc różnica tego postępu jest równa $r_2 - r_1 = 1$ . Stąd wynika, że dla każdego naturalnego $k$ jest $r_k = r_1 + (k - 1) \cdot 1 = k + 1$ , zatem