XV OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

W trójkącie $ABC$ kąt $A$ wynosi $20^\circ$ , $AB = AC$ . Na bokach $AB$ i $AC$ obrano takie punkty $D$ i $E$ , że $\measuredangle DCB = 60^\circ$ a $\measuredangle EBC = 50^\circ$ . Obliczyć kąt $EDC$ .

Rozwiązanie

Niech $\measuredangle EDC = x$ (rys. 9). Zauważmy, że $\measuredangle ACB = \measuredangle$ ABC $= 80^\circ$ , $\measuredangle CDB = 180^\circ-80^\circ-60^\circ = 40^\circ$ , $\measuredangle CEB = 180^\circ - 80^\circ-50^\circ = \measuredangle EBC$ , wobec czego $EC = CB$ . Stosunek $\frac{DC}{CE}$ boków trójkąta $EDC$ równa się stosunkowi boków $\frac{DC}{CB}$ trójkąta $BDC$ , wobec czego równe są w tych trójkątach stosunki sinusów kątów leżących naprzeciw odpowiednich boków:

$ \frac{\sin \measuredangle DEC}{\sin \measuredangle EDC}= \frac{\sin \measuredangle CBD}{\sin \measuredangle CDB} \textrm{ tj. } \frac{\sin (x + 20^\circ)}{\sin x} = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ}. $

Prawą stronę otrzymanego równania możemy przekształcić:

$ \frac{\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{\cos 40^\circ}{\frac{1}{2}} = \frac{\sin 50^\circ}{\sin 40^\circ}. $

Mamy zatem znaleźć kąt wypukły $x$ spełniający równanie

$ (1) \qquad \frac{\sin (x + 20^\circ)}{\sin x} = \frac{\sin 50^\circ}{\sin 30^\circ} $

lub równanie

$ \sin (x + 20^\circ) \cdot \sin 30^\circ = \sin 50^\circ \cdot \sin x. $

Przekształcając iloczyny sinusów na różnice cosinusów, otrzymujemy równanie równoważne

$ \cos (x - 10^\circ) = \cos (50^\circ - x), \textrm{ stąd } x - 10^\circ = k \cdot 360^\circ \pm (50^\circ - x). $

Uwzględniając warunek $0 < x < 180^\circ$ , otrzymujemy $x = 30^\circ$ .

Uwaga. Ostatnią część rozwiązania można trochę skrócić. Mianowicie z postaci równania (1) jest widoczne od razu, że ma ono pierwiastek $x = 30^\circ$ . Żaden inny kąt wypukły nie czyni zadość temu równaniu; jeżeli bowiem

$ \frac{\sin (x + 20^\circ)}{\sin x} = \frac{\sin (y + 20^\circ)}{\sin y} $