XV OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Czworościan $ABCD$ rozcięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $D$ , przez punkt $M$ krawędzi $AB$ i przez punkt $N$ krawędzi $BC$ . Dowieść, że pole trójkąta $DMN$ jest mniejsze pola któregoś z trójkątów $DAB$ , $DBC$ , $DCA$ .

Rozwiązanie

Twierdzenie, które mamy udowodnić można uważać za odpowiednik przestrzenny następującego twierdzenia z geometrii płaszczyzny:

Odcinek $CM$ łączący wierzchołek $C$ trójkąta $ABC$ z punktem wewnętrznym $M$ podstawy $AB$ tego trójkąta jest mniejszy od któregoś z boków $AC$ i $BC$ .

Krótki dowód tego twierdzenia znajdziemy, stosując metodę sprowadzenia do sprzeczności. Przypuśćmy, że $CM \geq AC$ i $CM \geq BC$ . W trójkątach $ACM$ i $BCM$ jest wówczas $\measuredangle AMC \leq \measuredangle MAC$ , $\measuredangle BMC \leq \measuredangle MBC$ , zatem

$ \measuredangle AMC + \measuredangle BMC \leq \measuredangle MAC + \measuredangle MBC < 180^\circ, $

co jest sprzeczne z tym, że $\measuredangle AMC$ i $\measuredangle BMC$ są kątami przyległymi.

Tezę tego twierdzenia można sformułować nieco inaczej. Zdanie: ,,liczba $x$ jest mniejsza od którejś z liczb $a, b, \ldots$ '' jest równoważne zdaniu ,,liczba $x$ jest mniejsza od największej z liczb $a, b, \ldots$ ''. Niech symbol

$ \max (a, b, \ldots) $

oznacza największą z liczb $a, b, \ldots$ ; zamiast zdania, że odcinek $CM$ jest mniejszy od któregoś z odcinków $AC$ i $BC$ możemy napisać krótko, że

$ CM \leq \max (AC, BC). $

Zanotujmy kilka oczywistych własności liczby $\max (a, b, \ldots)$ , na które powołamy się w dalszym ciągu.

(a) Jeżeli $d > 0$ , to $\max (ad, bd, \ldots) = d \cdot \max (a,b, \ldots)$

(b) Jeżeli $a_1 > a$ , to $\max (a, b, \ldots) \leq \max (a_1, b, \ldots)$

(d) $\max [a, b, \ldots, \max (c, d, \ldots)]= \max (a, b, \ldots, c, d, \ldots)$

Zauważmy ponadto, że wartość $\max (a, b, \ldots)$ nie zależy od kolejności liczb $a, b, \ldots$ :

Proponujemy Czytelnikowi wyszukanie jeszcze innych własności liczby $\max (a, b, \ldots)$ , a także liczby $\min (a, b, \ldots)$ tj. najmniejszej z liczb $a, b, \ldots$ .

Przejdźmy do postawionego zadania. Niech $M$ będzie punktem krawędzi $AB$ , a $N$ - punktem krawędzi $BC$ . Mamy dowieść, że

$ \textrm{ pole } DMN < \max (\textrm{pole } DAB, \textrm{ pole } DBC, \textrm{ pole } DCA) $

1. Rozważymy najpierw przypadek szczególny, gdy płaszczyzna $DMN$ przechodzi przez jedną z krawędzi czworościanu, na przykład przez $AD$ ; punkt $M$ pokrywa się wówczas z punktem $A$ (rys. 10).

Weźmy pod uwagę rzut całej figury na dowolną płaszczyznę prostopadłą do prostej $AD$ . Niech $A'$ będzie wspólnym rzutem punktów $A$ i $D$ a $B'$ , $C'$ , $N'$ niech będą odpowiednio rzutami punktów $B$ , $C$ i $N$ .

Długości odcinków $A'B'$ , $A'C'$ , $A'N'$ są równe odległościom prostej $AA'$ od równoległych do niej prostych $BB'$ , $CC'$ , $NN'$ , więc są równe odległościom punktów $B$ , $C$ , $N$ od prostej $AA'$ czyli wysokościom trójkątów $DAB$ , $DAC$ , $DAN$ o wspólnej podstawie $AD$ . Ponieważ, jak stwierdziliśmy wyżej,

$ A'N' < \max (A'B', A'C') $

więc na mocy (a)

$ AD \cdot A'N' < AD \cdot \max (A'B', A'C') = \max (AD \cdot A'B', AD \cdot A'C'), $

czyli

$ \textrm{ pole } DAN < \max (\textrm{ pole } DAB, \textrm{ pole } DAC), $

stąd na mocy (c)

$ \textrm{ pole } DAN < \max (\textrm{ pole } DAB, \textrm{ pole } DBC, \textrm{ pole } DAC). $

2. Przypuśćmy z kolei, że płaszczyzna $DMN$ nie przechodzi przez żadną krawędź czworościanu; $M$ i $N$ są wówczas punktami wewnętrznymi krawędzi $AB$ i $BC$ (rys. 11). Poprowadźmy płaszczyznę $DMC$ . Dla czworościanu $DMBC$ przeciętego płaszczyzną $DMN$ zachodzi wówczas przypadek 1; zatem