XV OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczba naturalną, a kąt $\alpha$ nie jest wielokrotnością $\frac{180^{\circ}}{2^n}$ , to

$ (1) \qquad \frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 4\alpha} + \frac{1}{\sin 8\alpha} + \ldots + = \ctg \alpha - \ctg 2^n \alpha. $

Rozwiązanie

Zastosujemy indukcję zupełną.

1. Jeżeli $\alpha$ nie jest wielokrotnością $90^\circ$ , to

$ (2) \qquad \frac{1}{\sin 2 \alpha} = \frac{2 \cos^2 \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1)}{\sin 2 \alpha} = \frac{2 \cos^2 \alpha}{ 2 \cos \alpha \sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2 \alpha} = \ctg \alpha - \ctg 2 \alpha $

Twierdzenie, które mamy udowodnić, jest zatem prawdziwe, gdy $n=1$ .

2. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego naturalnego $n$ , tzn. że gdy $\alpha$ nie jest wielokrotnością $\frac{180^\circ}{2^n}$ , to zachodzi wzór (1).

Załóżmy, że pewien kąt $\alpha$ nie jest wielokrotnością $\frac{180^\circ}{2^{n+1}}$ ; w takim razie $\alpha$ nie jest również wielokrotnością kąta dwa razy większego, tj. kąta $\frac{180^\circ}{2^{n}}$ , wobec czego zachodzi, jak przypuściliśmy, wzór (1). Zatem

$ \begin{split} \frac{1}{\sin 2 \alpha} + & \frac{1}{\sin 4 \alpha} + \ldots + \frac{1}{\sin 2^n \alpha} = \ctg \alpha - \ctg 2^n \alpha + \frac{1}{\sin 2^{n+1} \alpha} =\\ & = \ctg \alpha - \frac{2 (\cos 2^n \alpha)^2 - 1}{\sin 2^{n+1} \alpha} = \ctg \alpha - \frac{\cos 2^{n+1} \alpha}{\sin 2^{n+1} \alpha} = \ctg \alpha - \ctg 2^{n+1} \alpha. \end{split} $

Z 1. i 2. wynika, że twierdzenie: jeżeli $\alpha$ nie jest wielokrotnością $\frac{180^\circ}{2^n}$ , to zachodzi równość (1), jest prawdziwe dla każdego naturalnego $n$ .

Uwaga. Dowód indukcyjny tego samego twierdzenia można by przeprowadzić rozumując nieco inaczej.

Niech $n$ będzie liczbą naturalną, $\alpha$ zaś kątem nie równającym się wielokrotności $\frac{180^\circ}{2^n}$ . Wówczas dla żadnego naturalnego $k \leq n$ kąt $\alpha$ nie jest wielokrotnością $\frac{180^\circ}{2^k}$ , gdyż kąt $\frac{180^\circ}{2^k}$ jest wielokrotnością kąta $\frac{180^\circ}{2^n}$ . W takim razie: