XV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Okrąg podzielono na cztery, nie zachodzące na siebie, luki $AB$ , $BC$ , $CD$ i $DA$ . Dowieść, że odcinek, który łączy środki łuków $AB$ i $CD$ jest prostopadły do odcinka łączącego środki łuków $BC$ i $DA$ .

Rozwiązanie

Niech $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ oznaczają odpowiednio środki łuków $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ (rys. 12).

Twierdzenie będzie dowiedzione, gdy wykażemy, że suma kątów wpisanych $MNQ$ i $PMN$ wynosi $90^\circ$ . Kąt $MNQ$ opiera się na łuku $MAQ$ równym sumie łuków $MA$ i $AQ$ , a kąt wpisany $PMN$ jest oparty na łuku $PCN$ równym sumie łuków $PC$ i $CN$ . Ponieważ kąty wpisane w ten sam okrąg i oparte na równych łukach są równe, więc suma kątów wpisanych $MNQ$ i $PMN$ równa się kątowi wpisanemu w dany okrąg i opartemu na łuku równym sumie łuków $MA$ , $AQ$ , $PC$ , $CN$ . Otóż łuk $MA$ = łuk $MB$ , łuk $AQ$ = łuk $QD$ , łuk $PC$ = łuk $DP$ , łuk $CN$ = łuk $NB$ , zatem suma łuków $MA$ , $AQ$ , $PC$ , $CN$ równa się sumie łuków $MB$ , $QD$ , $DP$ , $NB$ , wobec czego każda z tych sum równa się półokręgowi. Suma kątów wpisanych $MNQ$ i $PMN$ równa się kątowi wpisanemu opartemu na półokręgu, tzn. kątowi prostemu.