XV OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Dowieść, że jeżeli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to najmniejszą z tych liczb jest $3$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby pierwsze $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ tworzą postęp arytmetyczny o różnicy $r > 0$ niepodzielnej przez $6$ , przy czym najmniejszą z nich jest $p_1$ . Wówczas

$<br /> p_2 = p_1 + r,\ p_3=p_1 + 2r.<br />$

Stąd wynika, że $p_1 \geq 3$ , gdyby bowiem było $p_1 = 2$ , liczba $p_3$ byłaby liczbą parzystą większą od $2$ , nie byłaby więc liczbą pierwszą. Wobec tego liczby $p_1$ i $p_2$ są nieparzyste, a liczba $r$ równa różnicy $p_2 - p_1$ jest parzysta i zachodzi jeden z przypadków: $r = 6k + 2$ lub $r = 6k + 4$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą $\geq 0$ .

Udowodnimy, że $p_1$ jest podzielne przez $3$ . Istotnie, gdyby było $p_1 = 3m + 1$ ( $m$ - liczba całkowita) i $r = 6k + 2$ , to wynikałoby stąd, że $p_2 = 3m + 6k + 3$ jest podzielne przez $3$ , a że $p_2 > 3$ , więc $p_2$ nie byłoby liczbą pierwszą. Gdyby zaś było $p_1 = 3m + 1$ , $r_2 = 6k+4$ , to $p_3 = 3m + 12k + 9$ nie byłoby liczbą pierwszą. Podobnie z przypuszczenia, że $p_1 = 3m + 2$ , $r = 6k + 2$ wynikałoby, że $p_3 = 3m + 12k + 6$ nie jest liczbą pierwszą, z przypuszczenia zaś, że $p_1 = 3m +2$ , $r = 6k + 4$ otrzymalibyśmy $p_2 = 3m + 6k + 6$ , a więc $p_2$ nie byłoby liczbą pierwszą.

Zatem $p_1$ jest liczbą pierwszą podzielną przez $3$ , tzn. $p_1 = 3$ .