XV OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Znaleźć liczby rzeczywiste $x, y, z$ spełniające układ równań

$ \begin{split} (z - x)(x - y) &= a \\ (x - y)(y - z) &= b \\ (y - z)(z - x) &= c \end{split} $

gdzie $a, b, c$ są danymi liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie

Mnożąc równania układu (1), otrzymujemy

$ (x - y)^2(y - z)^2(z - x)^2 = abc. $

Widzimy stąd, że układ (1) ma rozwiązanie rzeczywiste tylko wtedy, gdy

$ (2) \qquad ABC \geq 0. $

Załóżmy, że warunek (2) jest spełniony. Wówczas

$ (3) \qquad (x - y) (y - z) (z - x) = \pm \sqrt{abc}. $

Rozróżnimy 2 przypadki:

I. $abc > 0$ , tzn. $a \ne 0$ , $b ne 0$ , $c ne 0$ . Z równań (1) i (3) otrzymujemy układ równań stopnia pierwszego

$ (4) \qquad \begin{array}{c} a(y - z) = \pm \sqrt{abc}\\ b(z - x) = \pm \sqrt{abc}\\ c(x - y) = \pm \sqrt{abc} \end{array} $

Układ równań (4) jest równoważny układowi (1). Gdy na przykład pomnożymy stronami pierwsze dwa równania układu (4), otrzymamy równanie

$ ab (y - z) (z - x) = abc, $

które po podzieleniu obu stron przez różną od zera liczbę $ab$ , daje trzecie równanie układu (1). Podobnie wynikają z układu (4) dwa pozostałe równania układu (1).

Mamy więc rozwiązać układ (4). Pomnóżmy równania tego układu odpowiednio przez $bc$ , $ca$ , $ab$ i następnie dodajmy równania. Otrzymamy równość

$ \pm \sqrt{abc} (ab + bc + ca) = 0, $

a po podzieleniu przez $\pm \sqrt{abc}$ równość

$ (5) \qquad ab + bc + ca = 0. $

Równość (5) stanowi warunek konieczny istnienia rozwiązań danego układu równań w rozważanym przypadku I. Załóżmy, że warunek ten jest spełniony. Równania układu (4) nie są wówczas niezależne, każde z nich wynika z dwóch pozostałych. Możemy jedno z tych równań, np. trzecie, odrzucić; zostanie nam wówczas układ dwóch równań stopnia pierwszego z trzema niewiadomymi, który łatwo rozwiązać. Mianowicie wartość $z$ można obrać dowolnie, a wartości $x$ i $y$ wyznaczyć z równań w zależności od $z$ . Rozwiązanie takie, aczkolwiek poprawne, nie byłoby zręczne, gdyż jedną z niewiadomych traktuje się wtedy inaczej, niż pozostałe, gdy tymczasem w układzie (4) żadna z niewiadomych nie jest wyróżniona. Postąpimy tedy w sposób inny, który tej wady nie posiada. Wprowadzimy w tym celu niewiadomą pomocniczą $u$ , dołączając do układu (4) równanie

$ (6) \qquad x + y + z = u. $

Nowy układ równań (4) i (6) możemy rozwiązać, wyznaczając każdą z niewiadomych $x$ , $y$ , $z$ w zależności od $u$ . Łatwy rachunek prowadzi do wzorów

$ (7) \qquad \begin{split} x = \frac{1}{3} u \pm \frac{1}{3} \sqrt{abc} (\frac{1}{c} - \frac{1}{b})\\ y = \frac{1}{3} u \pm \frac{1}{3} \sqrt{abc} (\frac{1}{a} - \frac{1}{c})\\ z = \frac{1}{3} u \pm \frac{1}{3} \sqrt{abc} (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}). \end{split} $

Wzory (7), w których $u$ oznacza dowolną liczbę, stanowią rozwiązanie układu (1) w przypadku I.

II. $abc = 0$ ; wówczas któraś z liczb $a$ , $b$ , $c$ jest równa zeru. Łatwo jednak zauważyć, że jeżeli układ (1) ma rozwiązanie, to co najmniej dwie z tych liczb są zerami. Istotnie, jeśli np. $a = 0$ , to z pierwszego z równań (1) wynika, że $z - x = 0$ lub $x - y = 0$ . Z pozostałych zaś równań wynika, że gdy $z - x = 0$ , to $c = 0$ , a gdy $x - y = 0$ , to $b = 0$ . Możemy to sformułować w ten sposób, że w przypadku II rozwiązania mogą istnieć tylko wtedy, gdy zachodzi równość

$ (5) \qquad ab + bc + ca = 0. $

Załóżmy, że ten warunek jest spełniony. Niech np. $a = 0$ i $b = 0$ ; przypuśćmy, że $x$ , $y$ , $z$ spełniają dany układ równań

$ (1a) \qquad \begin{array}{c} (z - x) (x - y) = 0, \\ (x - y) (y - z) = 0, \\ (y - z) (z - x) = c. \end{array} $

Dodając pierwsze dwa równania układu (1a), otrzymujemy $(x - y) (y - x) = 0$ , skąd $x = y$ ; wobec tego trzecie równanie możemy napisać w postaci $(x - z) (z - x) = c$ lub $(x - z)^2 = - c$ , co daje nowy warunek rzeczywistości: $c \leq 0$ . Analogicznie, gdy $a = 0$ i $c = 0$ , wtedy musi być $b \leq 0$ , a gdy $b = 0$ i $c = 0$ , wtedy $a \leq 0$ . Łącząc w jedno, powiemy, że w przypadku II rozwiązania rzeczywiste istnieją tylko wtedy, gdy

$ (8) \qquad a + b + c \leq 0. $

Jeżeli ten warunek jest spełniony, to układ (1) ma nieskończenie wiele rozwiązań, a mianowicie

$ (9) \qquad \begin{array}{c} \textrm{Gdy } a = b = 0, \textrm{ wtedy } x = y = k,\ z = k \pm \sqrt{-c} \textrm{ ($k$ - dowolne})\\ \textrm{Gdy } a = c = 0, \textrm{ wtedy } x = z = k,\ y = k \pm \sqrt{-b} \textrm{ ($k$ - dowolne})\\ \textrm{Gdy } b = c = 0, \textrm{ wtedy } y = z = k,\ x = k \pm \sqrt{-a} \textrm{ ($k$ - dowolne})\\ \end{array} $

Jeżeli $a = b = c = 0$ , rozwiązania powyższe pokrywają się, tj. $x = y = z = k$ .

Powyższe wyniki możemy streścić, jak następuje:

Układ (1) ma rozwiązania rzeczywiste tylko wtedy, gdy spełnione są warunki

$ abc \geq 0 \textrm{ i } ab + bc + ca = 0. $

Jeżeli przy tym $abc > 0$ , to rozwiązania wyrażają się wzorami (7). Jeżeli zaś $abc = 0$ , to musi być jeszcze spełniony warunek

$ a + b + c \leq 0. $

Rozwiązania przedstawione są wówczas wzorami (9).

Uwaga. Czytelnik zechce sprawdzić, że warunek (8) wynika z warunków $abc > 0$ i (5), ale nie wynika z warunków (2) i (5). Wobec tego twierdzenie poprzednie można wypowiedzieć w taki sposób:

Układ równań (1) posiada rozwiązania rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy

$ abc \geq 0, \ ab + bc + ca = 0, \ a + b + c \leq 0. $

Rozwiązania wyrażają się wzorami (7), gdy $abc > 0$ , a wzorami (9), gdy $abc = 0$ .