XV OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Dany jest kąt trójścienny o krawędziach $SA$ , $SB$ , $SC$ , którego wszystkie kąty płaskie są ostre, a kąt dwuścienny przy krawędzi $SA$ jest prosty. Dowieść, że przekrój tego trójścianu dowolną płaszczyzną prostopadłą do którejkolwiek krawędzi, w punkcie różnym od wierzchołka $S$ , jest trójkątem prostokątnym.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli kąty trójścianu $SABC$ są ostre, to płaszczyzna, prostopadła do którejś krawędzi trójścianu w punkcie różnym od $S$ , przecina pozostałe krawędzie w punktach różnych od $S$ , wobec czego przekrój trójścianu tą płaszczyzną jest trójkątem. Na przykład płaszczyzna poprowadzona przez punkt $M$ krawędzi $SA$ , prostopadle do $SA$ , przecina krawędź $SB$ w punkcie $N$ określonym równością $SN = \frac{SM}{\cos \measuredangle ASB}$ .

Niech płaszczyzna $\alpha$ przecina krawędzie $SA$ , $SB$ , $SC$ trójścianu odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ (różnych od $S$ ). Udowodnimy, że jeżeli ta płaszczyzna jest prostopadła do jednej z krawędzi, to $\measuredangle NMP$ jest prosty. Gdy $\alpha \bot SA$ , jest to oczywiste, gdyż $\measuredangle NMP$ jest wówczas kątem liniowym kąta dwuściennego prostego. Gdy $\alpha \bot SB$ , to $\alpha \bot \textrm{pł. } SAB$ , a że $\textrm{pł. } SAC \bot \textrm{pł. }SAB$ , więc prosta przecięcia płaszczyzn $\alpha$ i $SAC$ , tj. prosta $MP$ jest prostopadła do płaszczyzny $SAB$ ; prosta $MP$ jest wobec tego prostopadła do prostej $MN$ leżącej w płaszczyźnie $SAB$ , zatem $\measuredangle NMP = 90^\circ$ . W przypadku, gdy $\alpha \bot SC$ , dowód jest analogiczny (rys. 13).