XV OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

Dowieść, że spośród pięciu dowolnych punktów płaszczyzny można wybrać takie trzy punkty, które nie są wierzchołkami trójkąta ostrokątnego.

Rozwiązanie

Jeżeli wśród danych punktów są trzy punkty współliniowe, teza twierdzenia jest oczywiście prawdziwa. Jeżeli zaś żadne trzy z danych punktów nie leżą na prostej, wówczas cztery z tych punktów, np. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , są wierzchołkami czworokąta wypukłego, co zostało udowodnione w zadaniu 4. Kąty czworokąta $ABCD$ są wypukłe, a suma ich równa się $360^\circ$ , zatem co najmniej jeden z tych kątów, np. kąt $BAC$ jest kątem wypukłym nie mniejszym od $90^\circ$ . Punkty $A$ , $B$ , $C$ nie są zatem wierzchołkami trójkąta
ostrokątnego.