XVIII ZMPB - Zadanie 18

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Niech $a$ , $b$ , $c$ , $d$ będą takimi liczbami całkowitymi różnymi od zera, że jedyną czwórką liczb całkowitych $(x,y,z,t)$ spełniającą równanie

$<br /> ax^2+by^2+cz^2+dt^2=0<br />$

jest $x=y=z=t=0$ . Czy wynika stąd, że liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ mają jednakowy znak?

Rozwiązanie

Odpowiedź: Nie.

Udowodnimy na przykład, że liczby $(a,b,c,d)=(1,1,-3,-3)$ spełniają założenia zadania. Aby to uczynić, przypuśćmy, że liczby całkowite $x$ , $y$ , $z$ , $t$ są rozwiązaniem równania

$<br /> (1) \qquad x^2+y^2-3z^2-3t^2=0.<br />$

Liczba $x^2+y^2=3(z^2+t^2)$ jest wówczas podzielna przez 3. Ponieważ kwadrat liczby całkowitej podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3 daje resztę 1 z dzielenia przez 3, więc suma $x^2+y^2$ może być podzielna przez 3 jedynie wtedy, gdy liczby $x$ i $y$ są podzielne przez 3. W tej sytuacji liczba $x^2+y^2$ jest podzielna przez 9, co pociąga podzielność liczby $z^2+t^2$ przez 3. W konsekwencji liczby $z$ i $t$ są również podzielne przez 3.

Zatem dowolne całkowite rozwiązanie równania (1) składa się z liczb podzielnych przez 3. Jest to równanie jednorodne: jeżeli liczby $x$ , $y$ , $z$ , $t$ są jego rozwiązaniem, to liczby ${1\over 3}x$ , ${1\over 3}y$ , ${1\over 3}z$ , ${1\over 3}t$ również. Gdyby więc istniało rozwiązanie, w którym któraś z liczb całkowitych $x$ , $y$ , $z$ , $t$ byłaby niezerowa, to dzieląc wszystkie te liczby przez odpowiednią potęgę liczby 3 otrzymalibyśmy rozwiązanie w liczbach całkowitych, nie wszystkich podzielnych przez 3, a jak wcześniej udowodniliśmy - takich rozwiązań nie ma. Wobec tego jedynym rozwiązaniem równania (1) w liczbach całkowitych jest $x=y=z=t=0$ .