XV OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ i $b_1 < b_2 < \ldots < b_n$ , gdzie $n \geq 2$ , to

$ (1) \qquad (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)(b_1 + b_2 + \ldots + b_n) < n(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n). $

Rozwiązanie

\spos{1} a) Gdy $n = 2$ , twierdzenie jest prawdziwe, gdyż

$ (a_1 + a_2) (b_1 + b_2) = a_1b_1 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_2b_2 = 2 (a_1b_1 + a_2b_2) - (a_1 - a_2) (b_1 - b_2), $

a ponieważ $(a_1 - a_2) (b_1 - b_2) > 0$ , więc

$ (a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2) < 2 (a_1b_1 + a_2b_2). $

b) Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego naturalnego $n$ i niech $a_1 < a_2 < \ldots < a_{n+1}$ oraz $b_1 < b_2 < \ldots < b_{n+1}$ .

Wówczas

$ \begin{split} &(a_1+ \ldots +a_n + a_{n+1}) (b_1 + \ldots + b_n + b_{n+1}) <\\ & \qquad <n (a_1b_1 + \ldots + a_nb_n)+ a_{n+1} (b_1 + b_2 + \ldots + b_n) + \\ &\qquad \qquad + (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) b_{n+1} + a_{n+1}b_{n+1} =\\ & \qquad = n (a_1b_1 + \ldots + a_nb_n) + (a_{n+1}b_1 + a_1b_{n+1}) + \\ &\qquad\qquad + (a_{n+1}b_2 + a_2b_{n+1})+ \ldots + (a_{n+1}b_n + a_nb{n+1}) + a_{n + 1}b_{n+ 1}. \end{split} $

Zauważmy, że

$ a_{n+1}b_1 + a_1b_{n+1} = (a_1b_1 + a_{n+1} b_{n+1}) - (a_1 - a_{n+1})(b_1 - b_{n+1}) < a_1b_1 + a_{n+1} b_{n+1}; $

podobnie stwierdzamy, że zachodzą nierówności

$ a_{n+1}b_2 + a_2b_{n+1} < a_2b_2 + a_{n+1}b_{n+1} $

$ \ldots$

$ a_{n+1}b_n + a_nb_{n+1} < a_nb_n + a_{n+1} b_{n+1}. $

Wobec tego z poprzedniej nierówności wnioskujemy, że

$ (a_1+ \ldots +a_n + a_{n+1}) (b_1 + \ldots + b_n + b_{n+1}) < (n+1) (a_1b_1 + \ldots + a_nb_n + a_{n+1}b_{n+1}). $

Z a) i b) wynika na podstawie indukcji zupełnej, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdego naturalnego $n \geq 2$ .

Uwaga. Zachodzi twierdzenie ogólniejsze: Jeżeli $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$ i $b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n$ , to

$ (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) (b_1 + b_2 + \ldots + b_n) \leq n (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n), $

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$ , bądź $b_1 = b_2 = \ldots = b_n$ .

Nierówność ta bywa nazywana nierównością Czebyszewa.