XV OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

III

Dany jest czworościan $ABCD$ , którego krawędzie $AB, BC, CD, DA$ są styczne do pewnej kuli: Dowieść, że punkty styczności leżą w jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Rozróżnimy dwa przypadki:

a) $AM = CN$ , zatem również $AQ = CP$ . Trójkąty $MBN$ i $ABC$ są wówczas jednokładne względem punktu $B$ , więc $MN \parallel AC$ i analogicznie $QP \parallel AC$ . Stąd $QP \parallel MN$ , zatem punkty $MNPQ$ leżą w jednej płaszczyźnie.

b) $AM \ne CN$ , niech np. $AM > CN$ , zatem również $AQ > CP$ . (Rys. 17).

Równoległa do $MN$ poprowadzona przez punkt $C$ przecina wówczas odcinek $AB$ w pewnym punkcie $E$ , a równoległa do $PQ$ poprowadzona przez $C$ przecina odcinek $AD$ w pewnym punkcie $F$ . Ponieważ $BM = BN$ , a $DP = DQ$ , więc $EM = CN = CP = QF$ , wobec czego $MQ \parallel EF$ .

Proste $PQ$ , $QM$ , $MN$ są odpowiednio równoległe do prostych $CF$ , $FE$ , $EC$ , więc płaszczyzny $PQM$ i $QMN$ są równoległe do płaszczyzny $CFE$ ; ponieważ płaszczyzny te mają wspólną prostą $QM$ , więc się pokrywają, tzn. punkty $P$ , $Q$ , $M$ , $N$ leżą w jednej płaszczyźnie.