XV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli pierwiastki równania $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ , o współczynnikach rzeczywistych, są rzeczywiste, to pierwiastki równania $3x^2 + 2ax + b = 0$ też są rzeczywiste.

Rozwiązanie

Zadanie sprowadza się do wykazania, że z danych założeń wynika nierówność

$ (1) \qquad a^2 - 3b \geq 0. $

Niech $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ oznaczają pierwiastki równania (2); według założenia są one liczbami rzeczywistymi.

Wiadomo, że

$ a = - (x_1 + x_2 + x_3),\ b = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1. $

Stąd

$ \begin{split} a^2 - 3b &= (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 3 (x_1x_3 + x_2x_3 + x_3x_1) =\\ &=x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_1x_2 - x_2x_3 - x_3x_1) =\\ &= \frac{1}{2} [(x_1 -x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2] \geq 0. \end{split} $

Uwaga. Korzystając z elementarnych wiadomości o pochodnych można zadanie rozwiązać znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że funkcja $3x^2 + 2ax + b$ jest pochodną funkcji $x^3 + ax^2 + bx + c$ i zastosować twierdzenie, że pomiędzy dwoma pierwiastkami funkcji różniczkowalnej leży jakiś pierwiastek pochodnej tej funkcji, oraz że pierwiastek wielokrotny funkcji jest jednocześnie pierwiastkiem tej pochodnej.