XV OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

III

Dany jest kąt ostry i okrąg położony wewnątrz tego kąta. Wyznaczyć na danym okręgu taki punkt $M$ , żeby suma odległości punktu $M$ od ramion kąta była najmniejsza.

Rozwiązanie

\spos{1} Niech $\measuredangle AOB = \delta$ (rys. 19) będzie danym kątem, $M$ dowolnym punktem, danego okręgu, a $MN = d_1$ i $MP = d_2$ odległościami punktu $M$ od półprostych $OA$ i $OB$ . Przyjmijmy oznaczenia $MO = d$ , $\measuredangle MOA = \alpha$ , $\measuredangle MOB = \beta$ ; przypuśćmy, że $\alpha \geq \beta$ .

Wówczas

$ d_1 = d \sin \alpha, \ d_2 = d \sin \beta. $

Stąd

$ d_1 + d_2 = d (\sin \alpha + \sin \beta) = 2d \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = 2 \sin \frac{\delta}{2} \cdot d \cos \frac{\alpha - \beta}{2}. $

Suma $d_1 + d_2$ ma najmniejszą wartość wtedy, gdy iloczyn $d \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ jest najmniejszy. Ten iloczyn wyraża długość rzutu $OM'$ odcinka $OM$ na prostą, tworzącą z $OM$ kąt równy $\frac{\alpha - \beta}{2}$ , tj. na dwusieczną $OC$ kąta $AOB$ . Poszukiwanym punktem jest zatem ten punkt okręgu, którego rzut na prostą $OC$ leży najbliżej punktu $O$ , tzn. punkt styczności tej z dwóch stycznych do okręgu, prostopadłych do dwusiecznej danego kąta, która leży bliżej punktu $O$ .

Rozwiązanie to można uzyskać bez rachunku trygonometrycznego. Poprowadźmy przez punkt $M$ prostopadłą $KL$ do dwusiecznej $OC$ (rys. 20) i zauważmy, że według znanego twierdzenia o trójkącie równoramiennym suma odległości dowolnego punktu $M$ podstawy $KL$ trójkąta równoramiennego $KOL$ od boków $OK$ i $OL$ równa się wysokości trójkąta względem boku $OK$ , tj. $MN + MP = LH$ . Gdy punkt $M$ porusza się po okręgu, wysokość $LH$ jest proporcjonalna do wysokości $OM'$ , gdyż obie są proporcjonalne do $OL$ . Zatem suma $MN + MP$ osiąga minimum (maximum), gdy odcinek $OM'$ jest najmniejszy (największy).

Uwaga 1. Zadanie możemy uogólnić biorąc w danym kącie zamiast okręgu dowolną figurę $F$ i stawiając pytanie, dla którego punktu figury suma odległości od ramion kąta osiąga minimum lub maximum. Rozwiązanie uzyskujemy, wyznaczając rzut figury $F$ na dwusieczną danego kąta: punktami szukanymi są te punkty figury $F$ , których rzuty leżą najbliżej lub najdalej od wierzchołka danego kąta.

Uwaga 2. Rozwiązanie zadania pozostaje bez zmiany, gdy dany kąt $AOB$ jest prosty. W przypadku, gdy kąt $AOB$ jest rozwarty, możemy w taki sam sposób znaleźć na danym okręgu punkt, dla którego suma odległości od prostych $OA$ i $OB$ jest najmniejsza lub największa. Sprawa przedstawia się inaczej, gdy chodzi o odległość punktu od ramion kąta, a więc od półprostych $OA$ i $OB$ . Odległością punktu $M$ od półprostej $OA$ o początku $O$ nazywa się długość najkrótszego z odcinków łączących punkt $M$ z punktami tej pólprostej. Odległość ta równa się tylko wtedy odległości punktu $M$ od prostej $OA$ , gdy odcinek $OM$ tworzy z prostą $OA$ kąt $\leq 90^\circ$ ; gdy zaś ten kąt jest $> 90^\circ$ , odległość punktu $M$ od półprostej $OA$ równa się długości odcinka $OM$ . Aby rozwiązać zadanie w tym przypadku, poszukajmy miejsca geometrycznego punktów, dla których suma odległości od ramion $OA$ i $OB$ kąta rozwartego równa się danej długości $a$ . Poprowadźmy w kącie $AOB$ taki odcinek $KL$ prostopadły do dwusiecznej tego kąta, żeby wysokość $LL'$ trójkąta równoramiennego $KOL$ była równa $a$ (rys. 22), i weźmy pod uwagę półproste $OC \bot OA$ i $OD \bot OB$ przecinające $KL$ w punktach $M$ i $N$ . Wówczas dla każdego punktu odcinka $MN$ suma odległości od półprostych $OA$ i $OB$ równa się $a$ , dla pozostałych punktów odcinka $KL$ suma ta jest większa niż $a$ . Niech $P$ będzie takim punktem kąta $AOD$ , że suma $PQ + PO$ jego odległości od półprostych $OA$ i $OB$ równa się $a$ i niech $x$ , $y$ oznaczają współrzędne punktu $P$ w układzie współrzędnych $AOC$ , wówczas

$ \sqrt{x^2 + y^2} + y = a. $

Stąd

$ y = \frac{a}{2} - \frac{x^2}{2a} $

punkt $P$ leży zatem na paraboli, której wierzchołkiem jest punkt $\left(0, \frac{a}{2} \right)$ , ogniskiem punkt $O$ i która przecina $OA$ w punkcie $(a, 0)$ .

Poszukiwanym miejscem geometrycznym jest zatem linia, składająca się z odcinka $MN$ i z dwóch łuków parabol. Przekształcając tę linię przez jednokładność względem środka $O$ w takim stosunku, aby otrzymać linię styczną do danego okręgu, znajdujemy żądany punkt.