XV OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XV OM, 1963-1964

Etap:

III

Dany jest ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły $ABCD$ o prostopadłych przekątnych $AC$ i $BD$ , a rzutem prostokątnym wierzchołka 8 na podstawę jest punkt 0 przecięcia przekątnych podstawy. Udowodnić, że rzuty prostokątne punktu O na ściany boczne ostrosłupa leżą na okręgu.

Rozwiązanie

Niech $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ będą rzutami prostokątnymi punktu $O$ odpowiednio na ściany $ASB$ , $BSC$ , $CSD$ , $DSA$ (rys. 23).

Płaszczyzna $SOM$ jest prostopadła do płaszczyzny czworokąta $ABCD$ i do płaszczyzny $ASB$ , gdyż zawiera prostopadłe $S0$ i $OM$ do tych płaszczyzn. Zatem płaszczyzna $S0M$ jest prostopadła do prostej przecięcia $AB$ płaszczyzn $ABCD$ i $ASB$ i przecina ją w punkcie $M'$ prostej $SM$ , przy czym $AB \bot OM'$ , tzn. $M'$ jest rzutem prostokątnym punktu $O$ na prostą AB. Podobnie proste $SN$ , $SP$ i $SQ$ przecinają odpowiednio proste $BC$ , $CD$ i $DA$ w punktach $N'$ , $P'$ , $Q'$ będących rzutami prostokątnymi punktu $O$ na te proste. Punkty $M'$ , $N'$ , $P'$ , $Q'$ leżą na pewnym okręgu $\alpha$ . Punkty $M$ , $N$ , $M'$ , $N'$ także leżą na okręgu. Istotnie, odcinek $OB$ widać z każdego z tych punktów pod kątem prostym, więc leżą one na sferze (tj. na powierzchni kuli) o średnicy $OB$ ; zarazem znajdują się one na płaszczyźnie $SMN$ , leżą zatem na linii przecięcia sfery z płaszczyzną, tj. na pewnym okręgu $\beta$ . Okręgi $\alpha$ i $\beta$ znajdują się w różnych płaszczyznach i ają dwa punkty wspólne $M'$ i $N'$ ; wobec tego istnieje sfera $\gamma$ przechodząca przez oba te okręgi; punkty $M'$ , $N'$ , $P'$ , $Q'$ , $M$ , $N$ , leżą na sferze $\gamma$ . Tak samo punkty $M'$ , $N'$ , $P'$ , $Q'$ , $N$ , $P$ leżą na pewnej sferze $\gamma'$ , a punkty $M'$ , $N'$ , $P'$ , $Q'$ , $P$ , $Q$ - na pewnej sferze $\gamma''$ . Lecz powierzchnie $\gamma$ , $\gamma'$ , $\gamma''$ są identyczne, gdyż $\gamma$ i $\gamma'$ przechodzą przez wierzchołki czworościanu $M'N'P'N$ , a $\gamma'$ i $\gamma''$ przez wierzchołki czworościanu $M'N'P'P$ . Zatem punkty $M'N'P'Q'MNPQ$ leżą na sferze $\gamma$ . Lecz z drugiej strony punkty $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ leżą na sferze o średnicy $OS$ , gdyż z każdego z tych punktów odcinek $OS$ widać pod kątem prostym; sfera ta jest różna od sfery $\gamma$ , gdyż nie przechodzi przez punkty $M'$ , $N'$ , $P'$ , $Q'$ , będąc styczną do płaszczyzny $ABCD$ w punkcie $O$ . Punkty $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ leżą zatem na linii przecięcia dwóch różnych sfer, tj. na okręgu.

Uwaga. Dowód powyższy można znacznie skrócić biorąc pod uwagę rzut stereograficzny sfery o średnicy $OS$ z punktu $S$ na płaszczyznę $ABCD$ . Wiadomo, że w takim rzucie okręgowi leżącemu na płaszczyźnie odpowiada okrąg na sferze. Okręgowi przechodzącemu przez punkty $M'$ , $N'$ , $P'$ , $Q'$ , odpowiada okrąg, który przechodzi przez odpowiednie punkty sfery, tj. przez punkty $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ .