XIV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Dowieść, że jeżeli $a$ , $b$ , $m$ są takimi liczbami całkowitymi, że $a^2 + 2mb^2$ jest kwadratem liczby całkowitej, to $a^2 + mb^2$ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Niech $mb^2 = n$ ; twierdzenie, które mamy udowodnić, otrzymuje postać prostszą: Dowieść, że jeżeli $a^2 + 2n$ , gdzie $a$ i $n$ oznaczają liczby całkowite, jest kwadratem liczby całkowitej, to $a^2 + n$ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Według założenia

$ (1) \qquad a^2 + 2n = k^2, \textrm{ zatem } n = \frac{k^2-a^2}{2} (k \textrm{ - liczba całkowita }), $

stąd

$ (2) \qquad a^2 + n = a^2 + \frac{k^2 - a^2}{2} = \frac{k^2 + a^2}{2} = \left( \frac{k + a}{2} \right)^2 + \left( \frac{k - a}{2} \right)^2. $

Z równości (1) wynika, że $k^2 - a^2$ jest liczbą parzystą, zatem liczby $k$ i $a$ są albo obie parzyste, albo obie nieparzyste. W takim razie $\frac{k + a}{2}$ i $\frac{k - a }{2}$ są liczbami całkowitymi i $a^2 + n$ jest według (2) sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Uwaga I. Twierdzenie powyższe jest przypadkiem szczególnym twierdzenia:

Jeżeli liczba parzysta $2m$ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to jej połowa, tj. liczba $m$ jest także sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych. Istotnie, jeżeli $2m = k^2 + l^2$ , to $k$ i $l$ są tej samej parzystosci i mamy rozkład $m = \frac{k^2+l^2}{2} = \left( \frac{k+l}{2} \right)^2 + \left( \frac{k-l}{2} \right)^2$ .

Biorąc $m = a^2 + n$ i $l = a$ , otrzymujemy twierdzenie poprzednie.

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne. Jeżeli mianowicie

$ m = u^2 + v^2 $

$ 2m = 2u^2 + 2v^2 = (u + v)^2 + (u - v)^2. $

Uwaga II. Ciekawe zagadnienie, które liczby naturalne są sumami dwóch kwadratów, należy do klasycznych zagadnień teorii liczb. Łatwo dowieść, że żadna liczba naturalna postaci $4k + 3$ nie równa się sumie dwóch kwadratów liczb całkowitych. Istotnie, kwadrat liczby całkowitej daje z dzielenia przez $4$ resztę $0$ albo $1$ , więc reszta z dzielenia sumy dwóch kwadratów przez $4$ równać się może tylko $0$ , $1$ lub $2$ .

Zachodzi natomiast następujące twierdzenie: Każda liczba pierwsza postaci $4k + 1$ równa się sumie dwóch kwadratów. Twierdzenie to odkrył wielki matematyk francuski Pierre Fermat około r. 1660; zostało ono jednak ogłoszone już po śmierci Fermata przez jego syna w r. 1670 i to bez dowodu. Pierwszy dowód podał w r. 1754 Leonard Euler, sławny matematyk szwajcarski Dowód tego twierdzenia można znaleźć w książce prof. W. Sierpińskiego - Teoria liczb.

A zatem liczba pierwsza różna od $2$ jest wtedy i tylko wtedy sumą dwóch kwadratów, gdy ma postać $4k + 1$ .

Aby znaleźć liczby złożone będące sumami dwóch kwadratów zauważmy, że:

a) Liczba parzysta jest wtedy i tylko wtedy sumą dwóch kwadratów, gdy tę samą własność ma jej największy dzielnik nieparzysty (patrz uwaga I);

b) jeżeli każda z liczb $m$ i $n$ jest sumą dwóch kwadratów, to ich iloczyn $mn$ jest także sumą dwóch kwadratów, gdyż jeżeli $m = a^2 + b^2$ i $n = c^2 + d^2$ , to

$ mn = (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2. $

Ponieważ $a^2 = a^2 + 0^2$ , więc jeżeli liczba $m$ jest sumą dwóch kwadratów, to każda liczba postaci $a^2 \cdot m$ jest też sumą dwóch kwadratów.

Z powyższego wynika, że jeżeli w rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze te liczby pierwsze, które mają postać $4k + 3$ , występują tylko z wykładnikami parzystymi, to liczba ta jest sumą dwóch kwadratów.

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne (Patrz W.Sierpiński - Teoria liczb). Ostatecznie zatem rozwiązanie omawianego zagadnienia jest następujące: Liczba naturalna jest wtedy i tylko wtedy sumą kwadratów dwóch liczba całkowitych, gdy w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze żadna liczba pierwsza postaci $4k + 3$ nie występuje w potędze o wykładniku nieparzystym.

Rozważymy jeszcze pytanie, czy istnieją różne przedstawienia tej samej liczby w postaci sumy dwóch kwadratów. Nie będziemy przy tym uważać za różne takich rozkładów $a^2 + b^2$ , w których $a$ i $b$ różnią się tylko znakami, wobec czego przyjmiemy, że w rozważanych rozkładach składniki są nieujemne.

Nietrudno dowieść, że dla liczby pierwszej $p$ postaci $4k + 1$ istnieje tylko jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów. Przypuśćmy, że

$ (3) \qquad p = a^2 + b^2 \textrm{ i } p = c^2 + d^2. $

Wówczas

$ (4) \qquad p^2 = (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (ad + bc)^2 + (ac - bd)^2. $

Otóż

$ (ac + bd) (ad + bc) = a^2cd + b^2cd + c^2ab + d^2ab = (a^2 + b^2)cd + (c^2 + d^2)ab = p(ab + cd), $

iloczyn $(ac + bd) (ad + bc)$ jest zatem podzielny przez liczbę pierwszą $p$ , wobec czego któryś z jego czynników jest podzielny przez $p$ .

Wystarczy rozpatrzyć przypadek, gdy

$ ac + bd = k' \cdot p, $

gdzie $k$ jest całkowite i dodatnie.

Z równości (4) wynika wówczas, że

$ ad - bc = l \cdot p $

gdzie $l$ jest liczbą całkowitą. Zatem na mocy równości (4)

$ p^2 = k^2p^2 + l^2p^2, $

a stąd

$ k^2 + l^2 = 1 . $

Ponieważ $k > 0$ , więc z ostatniego równania otrzymujemy $k = 1$ , $l = 0$ , wobec czego

$ ac + bd = p, $

$ ad - bc = 0. $

Rozwiązując te równania względem $c$ i $d$ , otrzymujemy

$ c = \frac{ap}{a^2+b^2} = a, \ d = \frac{bp}{a^2+b^2} = b, $

Obie równości (3) przedstawiają więc ten sam rozkład liczby $p$ .

Dla liczb złożonych liczba rozkładów na sumę dwóch kwadratów może być dowolnie wielka. Można na przykład dowieść, że iloczyn $n$ różnych liczb pierwszych postaci $4k + 1$ posiada $2^{n-1}$ rozkładów: