XVIII ZMPB - Zadanie 19

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Dane są dodatnie liczby całkowite $r$ i $k$ . Wszystkie dzielniki pierwsze liczby $r$ są większe od 50.

Dodatnią liczbę całkowitą, której zapis dziesiętny (bez zer początkowych) ma co najmniej $k$ cyfr, nazwiemy ładną, jeżeli każdy ciąg $k$ kolejnych cyfr tego zapisu przedstawia liczbę (być może z zerami początkowymi) podzielną przez $r$ .

Dowieść, że jeżeli istnieje nieskończenie wiele liczb ładnych, to liczba $10^k-1$ też jest ładna.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że istnieje liczba ładna, której zapis dziesiętny składa się z przynajmniej $10k+1$ cyfr. Niech $c_1$ , $c_2$ , $\ldots$ , $c_{10k+1}$ będą początkowymi cyframi tej liczby.

Na podstawie określenia liczby ładnej podzielne przez $r$ są liczby

$ \begin{split} a & =10^{k-1}c_1+10^{k-2}c_2+\ldots+10c_{k-1}+c_k, \cr b & =10^{k-1}c_2+10^{k-2}c_3+\ldots+10c_k+c_{k+1}. \end{split} $

Wynika stąd, że liczba

$ 10a-b=10^kc_1-c_{k+1} $

także jest podzielna przez $r$ . Przyjmując oznaczenie $d_i=c_{ik+1}$ ( $i=0,1,\ldots,10$ ) dowodzimy analogicznie, iż spełnione są podzielności

$ r\,|\,10^kd_i-d_{i+1}\qquad\hbox{dla }i=0,1,\ldots,9. (1) \qquad $

Ciąg $d_0$ , $d_1$ , $\ldots$ , $d_{10}$ składa się z 11 cyfr, więc pewne dwie cyfry w tym ciągu muszą być równe. Zatem istnieją takie wskaźniki $0\le i<j\le 10$ , że cyfry $d_i$ , $d_{i+1}$ , $\ldots$ , $d_{j-1}$ są parami różne oraz $d_i=d_j$ . Na mocy związków (1) liczba

$ \begin{split}(10^kd_i & -d_{i+1})+(10^kd_{i+1}-d_{i+2})+\ldots+(10^kd_{j-1}-d_j)= \cr & =(10^kd_i-d_{i+1})+(10^kd_{i+1}-d_{i+2})+\ldots+(10^kd_{j-1}-d_i)= \cr & =(10^k-1)(d_i+d_{i+1}+\ldots+d_{j-1}) \end{split} $

jest podzielna przez $r$ . Jednakże czynnik $d_i+d_{i+1}+\ldots+d_{j-1}$ jest sumą różnych cyfr, zatem nie przekracza liczby $0+1+2+\ldots+9=45$ i wobec tego jest względnie pierwszy z liczbą $r$ . W konsekwencji $10^k-1$ jest $k$ -cyfrową liczbą podzielną przez $r$ , skąd wynika teza zadania.