XIV OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Dowieść, że iloczyn dwumianów

$ P(x) = (x^m - 1) (x^{m+1}-1) (x^{m+2}-1) (x^{m+3} - 1)(x^{m+1}- 1) , $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną, jest podzielny przez iloczyn dwumianów

$ Q(x) = (x-1) (x^2 - 1) (x^3 - 1) (x^4 - 1) (x^5 - 1). $

Rozwiązanie

Ponieważ

$ x^2 - 1 = (x - 1) (x + 1),\ x^3 - 1 = (x - 1) (x^2 + x + 1), $

$ x^4 - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^2 + 1),\ x^5 - 1 = (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) $

więc

$ (1) \qquad Q(x) = (x- 1)^5(x + 1)^2 (x^2 + 1) (x^2 + x + 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1). $

W rozkładzie (1) wielomianu $Q(x)$ czynniki

$ (2) \qquad (x - 1)^5,\ (x + 1)^2,\ x^2 + 1,\ x^2 + x + 1,\ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $

są parami względnie pierwsze. Istotnie, wielomian $(x - 1)^5$ jest pierwszy względem każdego z pozostałych wielomianów (2), jest on bowiem potęgą nierozkładalnego wielomianu $x - 1$ , który nie jest dzielnikiem żadnego z owych wielomianów, gdyż żaden z nich nie ma pierwiastka równego $1$ . To samo stosuje się do wielomianu $(x + 1)^2$ . Aby wykazać, że trzy pozostałe wielomiany ciągu (2) są parami względnie pierwsze, wystarczy zauważyć, że

$ (3) \qquad (x^2 + x + 1) - (x^2 + 1) = x, $

$ (4) \qquad (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - (x^2 + x) (x^2 + 1) = 1, $

$ (5) \qquad (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - x^2(x^2 +x + 1) = x + 1. $

Z równości (3) wynika, że każdy wspólny dzielnik wielomianów $x^2 + x + 1$ i $x^2+ 1$ nie będący stałą, musiałby być dzielnikiem wielomianu nierozkładalnego $x$ , miałby więc postać $kx$ , gdzie $k$ jest liczbą różną od zera; tymczasem ani $x^2 + x + 1$ ani $x^2 + 1$ nie jest podzielne przez $kx$ dla żadnego $k$ . Z równości (4) i (5) wynika podobnie, że wielomian $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ jest pierwszy względem każdego z wielomianów $x^2+1$ ,i $x^2+x+1$ .

Aby zatem udowodnić, że wielomian $P(x)$ jest podzielny przez wielomian $Q(x)$ , wystarczy dowieść, że jest on podzielny przez każdy z wielomianów (2). Stwierdzamy to, jak następuje.

Wielomian $P(x)$ jest iloczynem pięciu czynników

$ (6) \qquad x^m-1,\ x^{m + 1}-1,\ x^{m + 2}-1,\ x^{m + 3}-1,\ x^{m + 4}-1. $

Każdy z wielomianów (6) jest podzielny przez $x - 1$ , więc $P(x)$ jest podzielne przez $(x - 1)^5$ . W ciągu pięciu kolejnych, liczb naturalnych

$ (7) \qquad m,\ m + 1,\ m + 2,\ m + 3,\ m + 4 $

co najmniej dwie są parzyste, co najmniej jedna jest podzielna przez $3$ , co najmniej jedna jest podzielna przez $4$ , a jedna jest podzielna przez $5$ . Wobec tego w ciągu wielomianów (6):

a) co najmniej dwa mają postać $x^{2k} - 1 = (x^2)^k - 1$ , więc są podzielne przez $x^2 - 1$ , a tym samym przez $x + 1$ , skąd wynika, że $P(x)$ jest podzielne przez $(x + 1)^2$ ;

b) co najmniej jeden ma postać $x^{3k} - 1 = (x^3)^k - 1$ , więc jest podzielny przez $x^3 - 1 = (x - 1) (x^2 + x + 1)$ , zatem $P(x)$ jest podzielne przez $x^2 + x + 1$ ;

c) co najmniej jeden ma postać $(x^{4k} - 1) = (x^4)^k - 1$ , więc jest podzielny przez $x^4 - 1 = (x^2 - 1) (x^2 + 1)$ , wobec czego $P(x)$ jest podzielne przez $x^2 + 1$ ;

d) jeden z nich ma postać $x^{5k} - 1 == (x^5)^k - 1$ , jest więc podzielny przez $x^5 - 1 = (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ , skąd wynika podzielność wielomianu $P(x)$ przez $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ .

Uwaga. Zachodzi twierdzenie ogólne: Dla dowolnych liczb naturalnych $m$ i $r$ iloczyn dwumianów

$ (8) \qquad P(x) = (x^m- 1) (x^{m + 1} - 1) \ldots (x^{m + r-1} - 1) $

jest podzielny przez iloczyn dwumianów

$ (9) \qquad Q(x) = (x- 1)(x^2- 1) \ldots (x^r- 1). $

Podamy dowód tego twierdzenia, przy czym będziemy się posługiwali wielomianami o współczynnikach zespolonych. Myśl dowodu będzie ta sama, co poprzednio: przedstawimy $Q(x)$ w postaci iloczynu takich czynników, które są parami względnie pierwsze a następnie wykażemy, że wielomian $P(x)$ jest podzielny przez każdy z tych czynników.

W zbiorze liczb zespolonych dwumian $x^k - 1$ ( $k$ - liczba naturalna) ma $k$ różnych pierwiastków. Są nimi liczby

$ x_{h,k} = \cos \frac{2\pi h}{k} + \sin \frac{2\pi h}{k} ,\ (h = 1,2, \ldots, k) $

zwane pierwiastkami stopnia $k$ z jedności. Zatem

$ (10) \qquad x^k - 1 = (x - x_{1,k}) (x - x_{2,k}) \ldots (x - x_{k,k}). $

Stosując wzór (10) do każdego z $r$ dwumianów iloczynu (9) rozłożymy $Q(x)$ na $1+2+\ldots + r = \frac{1}{2}r(r + 1)$ czynników postaci $x - x_{h,k}$ , w których $h$ i $k$ przybierają wartości $1,2, \ldots, r$ , przy czym $h \leq k$ . Niektóre z tych czynników są jednakowe; łatwo zauważyć, że $x_{h_1k_1} = x_{h_2k_2}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $h_1 \colon k_1 = h_2 \colon k_2$ . Na przykład $x_{1,1} = x_{2,2} = \ldots = x_{r,r} = \cos 2\pi +i \sin 2\pi = 1$ , $x_{1,2} = x_{2,4} = \ldots = \cos\pi + i \sin \pi = -1$ itd. Łącząc równe czynniki, możemy przedstawić $Q(x)$ w postaci

$ (11) \qquad Q(x) = (x - x_1)^{\alpha_1} (x - x_2)^{\alpha_2} \ldots (x - x_s)^{\alpha_s}, $

gdzie $x_1, x_2, \ldots x_s$ oznaczają pierwiastki różne wielomianu $Q(x)$ , a liczby naturalne $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ - wielokrotności tych pierwiastków.

Każde dwa czynniki iloczynu (11), np. $(x - x_\mu)^{\alpha_\mu}$ i $(x - x_\nu)^{\alpha_\nu}$ , gdzie $\mu \ne \nu$ , są względnie pierwsze, gdyż dwumiany $x - x_\mu$ i $x - x_\nu$ są względnie pierwsze.

Podobnie

$ (12) \qquad P(x) = (x- \xi_1)^{\beta_1}(x- \xi_2)^{\beta_2} \ldots (x- \xi_t)^{\beta_t}, $

gdzie $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_t$ oznaczają pierwiastki różne wielomianu $P(x)$ , a $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$ - wielokrotności tych pierwiastków.

Twierdzenie będzie udowodnione, jeśli wykażemy, że gdy $\nu$ jest jedną z liczb $1,2, \ldots, s$ , to $(x - x_\nu)^{\alpha_\nu}$ jest dzielnikiem któregoś czynnika $(x - \xi_\rho)^{\beta_\rho}$ iloczynu (12), tzn. że dla pewnego $\rho$ jest $x_\nu = \xi_\rho$ , a $\alpha_\nu \leq \beta_\rho$ .

Zauważmy najpierw, że gdy $x_\nu$ jest pierwiastkiem z jedności, tzn. $x_\nu^k = 1$ dla pewnych naturalnych liczb $k$ , wtedy wśród takich liczb $k$ istnieje najmniejsza; oznaczymy ją przez $k_\nu$ . Jeśli $x_\nu^k = 1$ , dla pewnego $k$ , a $k = pk_\nu + q$ , gdzie $0 \leq g < k_\nu$ , to

$ x_\nu^{pk_\nu + q} = (x_\nu^{k_\nu} ) \cdot x_\nu^q = 1, \textrm{ zatem } x_\nu^q = 1 $

a że $q < k_\nu$ , więc $q = 0$ , wobec czego

$ k = pk_\nu. $

Dwumian $x^k - 1$ jest więc podzielny przez $x - x_\nu$ wtedy i tylko wtedy, gdy $k$ jest wielokrotnością $k_\nu$ .

Stąd wynika, że w iloczynie (9) jest tyle czynników podzielnych przez $x - x_\nu$ ile jest liczb podzielnych przez $k_\nu$ w ciągu

$ 1, 2, \ldots, r, $

inaczej mówiąc, ile wynosi największa liczba całkowita w ciągu

$ \frac{1}{k_\nu}, \frac{2}{k_\nu}, \ldots, \frac{r}{k_\nu}. $

Ponieważ dla każdego z owych czynników $x_\nu$ jest pierwiastkiem pojedynczym, więc ich liczba równa się wielokrotności pierwiastka $x_\nu$ wielomianu $Q(x)$ , tzn. wykładnikowi $\alpha_\nu$ w rozkładzie (11).

A zatem

$ \alpha_\nu = \left[ \frac{r}{k_\nu} \right], $

gdzie $\left[ \frac{r}{k_\nu} \right]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie mniejszą od $\frac{r}{k_\nu}$ .

Gdy $x_\nu$ jest pierwiastkiem wielomianu $Q(x)$ , to z uwagi na (9) zachodzi nierówność $k_\nu \leq r$ , zatem co najmniej jedna z $r$ liczb $m, m + 1, \ldots, m + r - 1$ jest podzielna przez $k_\nu$ , skąd wynika, że $x_\nu$ jest również pierwiastkiem wielomianu $P(x)$ ; niech np. $x_\nu = \xi_\rho$ .

Wykładnik $\beta_\rho$ czynnika $(x - \xi_\rho)^{\beta_\rho}$ rozkładu (12) obliczymy podobnie, jak poprzednio $\alpha_\nu$ . Mianowicie $\beta_\rho$ równa się liczbie tych wyrazów ciągu