XIV OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Dowieść, że jeżeli wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta $ABC$ są stałe, a wierzchołek $C$ tak się porusza, że kąt $ABC$ nie zmienia swej wielkości, to odcinek łączący spodki $H$ i $K$ wysokości trójkąta poprowadzonych z wierzchołków $A$ i $B$ ma stałą długość.

Rozwiązanie

Gdy $\measuredangle ACB$ jest prosty, twierdzenie jest oczywiste, gdyż $H$ i $K$ pokrywają się wtedy z punktem $C$ i $HK = 0$ . Załóżmy, że $\measuredangle ACB = \gamma \ne 90^\circ$ . Punkty $H$ i $K$ leżą na okręgu o średnicy $AB$ (rys. 1); niech $O$ będzie jego środkiem. Na podstawie twierdzenia o kącie wpisanym $\measuredangle HOK = 2 \cdot \measuredangle HAK$ . Jeżeli kąt $\gamma$ jest ostry, to punkt $H$ leży między punktami $B$ i $C$ i $\measuredangle HAK = 90^\circ - \gamma$ . Jeśli zaś kąt $\gamma$ jest rozwarty, to $\measuredangle HAK = \gamma - 90^\circ$ . W. obu przypadkach wielkość kąta środkowego $HOK$ jest stała, zatem również długość cięciwy $HK$ jest stała.