XIV OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

W koło wielkie kuli o promieniu $r$ wpisano wielokąt foremny o $n$ bokach. Dowieść, że suma kwadratów odległości dowolnego punktu $P$ powierzchni kuli od wierzchołków wielokąta równa się $2nr^2$ .

Rozwiązanie

Niech symbol $\overline{AB}$ oznacza wektor o początku $A$ i końcu $B$ , a $AB$ - długość tego wektora. Wówczas

$ \overline{PA_k} = \overline{PO} + \overline{OA_k}, $

stąd

$ (\overline{PA_k})^2 = (\overline{PO})^2 + (\overline{OA_k})^2 + 2 \overline{PO} \cdot \overline{OA_k}, $

więc

$ PA_k^2 = PO^2 + OA_k^2+ 2\overline{PO} \cdot \overline{OA_k} = 2r^2 + 2\overline{PO} \cdot \overline{OA_k}. $

Zatem

$ (3) \qquad PA_1^2 + PA_2^2 + \ldots + PA_n^2= 2nr^2 + 2\overline{PO} (\overline{OA_1} + \overline{OA_2} + \ldots + \overline{OA_n}). $

Otóż suma wektorów $\overline{OA_1} + \overline{OA_2} + \ldots + \overline{OA_n}$ równa się zeru. Jeżeli bowiem obrócimy całą figurę dokoła punktu $O$ o kąt $\frac{2\pi}{n}$ , to każdy z wektorów $OA_k$ przejdzie w następny, wobec czego ich suma pozostanie ta sama; jest ona więc takim wektorem, który przy obrocie o pewien kąt różny od $2k\pi$ nie zmienia się, tj. wektorem zerowym.

Z równości (3) wynika równość (2), którą mieliśmy udowodnić.

Na przykładzie powyższego dowodu widzimy, jak wielkie korzyści może dać posługiwanie się wektorami w rozumowaniach geometrycznych. Jest to metoda szeroko dzisiaj stosowana.