XIV OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Ile cyfr ma liczba

$ 2^{2^{16}} + 1 $

napisana w układzie dziesiętnym?

Rozwiązanie

Zadanie to łatwo rozwiązać przy użyciu $5$ -cyfrowych tablic logarytmów dziesiętnych. Według tablic $\log 2$ równa się w przybliżeniu $0,30103$ , przy czym błąd tego przybliżenia jest mniejszy od $0,00001$ , wobec czego

$ 0,30102 < \log 2 < 0,30104, $

zatem

$ 2^{16} \cdot 0,30102 < \log 2^{2^{16}} < 2^{16} \cdot 0,30104; $

po wykonaniu mnożenia przez $2^{16} = 65536$ otrzymujemy nierówność

$ 19727 < \log 2^{2^{16}} < 19729. $

Stąd wynika, że liczba $2^{2^{16}}$ ma $19728$ lub $19729$ cyfr, co nie daje jeszcze odpowiedzi na postawione pytanie. Aby ją uzyskać, trzeba $\log 2$ ocenić dokładniej. W tym celu skorzystamy z podanej w tablicach wartości przybliżonej logarytmu liczby $2^{10} = 1024$ . Według tablic $\log 1024 \approx 3,01030$ z błędem mniejszym od $0,00001$ , zatem

$ 10 \log 2 > 3,01029 $

skąd

$ \log 2 > 0,301029 $

więc

$ \log 2^{2^{16}} > 0,301029 \cdot 65536 > 19728. $

A zatem liczba $2^{2^{16}}$ ma $19729$ cyfr. Ponieważ liczba $2^{2^{16}}$ jest parzysta, więc ostatnią jej cyfrą nie jest $9$ , wobec czego liczba $2^{2^{16}} + 1$ ma także $19729$ cyfr.