XIV OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Dany trójkąt $ABC$ podzielić prostą równoległą do danej prostej $p$ na dwie części o równych polach.

Rozwiązanie

Poprowadźmy przez punkty $A$ , $B$ , $C$ proste $a$ , $b$ , $c$ równoległe do prostej $p$ . Przypuśćmy, że są to trzy różne proste; wówczas jedna z nich leży w pasie ograniczonym dwiema innymi. Niech to będzie prosta $a$ ; przecina ona bok $BC$ w pewnym punkcie $D$ (rys. 4). Jeśli $BD = DC$ , poszukiwaną prostą jest $AD$ ; przypuśćmy, że $BD < DC$ ; w przypadku, gdy $BD > DC$ , rozwiązanie jest analogiczne.

Pole trójkąta $ABD$ jest mniejsze od pola trójkąta $ADC$ , więc poszukiwana prosta (o ile istnieje) przecina odcinek $AC$ w pewnym punkcie $M$ , a odcinek $DC$ w pewnym punkcie $N$ . Trójkąty $MNC$ i $ADC$ są podobne, zatem pola ich są proporcjonalne do kwadratów odpowiednich boków:

$ (1) \qquad \frac{\textrm{pole }MNC}{\textrm{pole }ADC} = \frac{CN^2}{CD^2}. $

Pola trójkątów $ADC$ i $ABC$ mających wspólną wysokość, są proporcjonalne do ich podstaw:

$ (2) \qquad \frac{\textrm{pole }ADC}{\textrm{pole }ABC} = \frac{CD}{CB}. $

Mnożąc powyższe równości i uwzględniając, że

$ \textrm{pole }MNC = \frac{1}{2} \textrm{pole }ABC, $

otrzymujemy

$ (3) \qquad CN^2 = \frac{1}{2} CB \cdot CD. $

Odcinek $CN$ jest zatem średnią geometryczną odcinków $\frac{1}{2} CB$ i $CD$ . Możemy go zbudować w znany sposób, jak zaznaczono na rys. 4. Prowadząc $MN \parallel AD$ , otrzymujemy żądany podział trójkąta, albowiem spełnione są wówczas równości (1), (2), (3), a z nich wynika łatwo, że $\textrm{pole }CMN = \frac{1}{2} \textrm{pole }ABC$ .

Gdy dwie z prostych $a$ , $b$ , $c$ pokrywają się, zachodzi przypadek graniczny, w którym możemy jednak zastosować to samo rozumowanie co poprzednio. Jeżeli np. prosta $a$ pokrywa się z prostą $b$ , to punkt $D$ pokrywa się z $B$ (rys. 5); wnioskowanie poprzednie pozostaje słuszne i otrzymujemy

$ CN^2 = \frac{1}{2} CB^2. $

Uwaga. Warunek: $\textrm{pole }MNC = -\frac{1}{2} \textrm{pole }ABC$ możemy zastąpić warunkiem ogólniejszym: $\textrm{pole }MNC = k \cdot \textrm{pole }ABC$ , gdzie $k$ oznacza dowolną liczbę wymierną. Zadanie rozwiązuje się tak samo. Szukany odcinek $CN$ jest średnią geometryczną odcinków $k \cdot CB$ i $CD$ .