XIV OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie, to

$ (1) \qquad a + b + c \leq \frac{a^4 + b^4 + c^4}{abc}. $

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , $c$ prawdziwe są nierówności

$ (2) \qquad (a^2 - bc)^2 + (b^2 - ca)^2 + (c^2 - ab)^2 \geq 0 $

$ (3) \qquad (a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 \geq 0. $

Nierówności (2) i (3) są odpowiednio równoważne nierównościom

$ (4) \qquad 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 \leq a^4 + b^4 + c^4 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 $

$ (5) \qquad 0 \leq a^4 + b^4 + c^4 - a^2b^2 - b^2c^2 - c^2a^2. $

Dodając (4) i (5) stronami otrzymujemy

$ (6) \qquad 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 \leq 2a^4 + 2b^4 + 2c^4. $

Po podzieleniu obu stron nierówności (6) przez liczbę $2abc$ , która jest według założenia dodatnia, otrzymujemy nierówność żądaną

$ a + b + c \leq \frac{ a^4 + b^4 + c^4}{abc}. $

Uwaga 1. Założenie, że liczby $a$ , $b$ , $c$ są dodatnie, można zastąpić założeniem słabszym (tj. mniej wymagającym), że iloczyn $abc$ jest dodatni.

Uwaga 2. Powyższe rozwiązanie zadania jest, jak widzimy, bardzo proste. Jednakże nie nasuwa się ono od razu, gdyż nie tak łatwo domyślić się, że trzeba za punkt wyjścia obrać nierówności (2) i (3). Łatwo natomiast znaleźć dowód, gdy się zadanie przetłumaczy na język algebry wektorów.

Wektorem (w przestrzeni $n$ -wymiarowej) nazywamy ciąg $n$ liczb, np. ( $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ).

Sumą wektorów $X = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ i $Y = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$ nazywamy wektor

$ X + Y = (a_1 + b_1, a_2+ b_2, \ldots, a_n+ b_n). $

Iloczynem wektora $X = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ przez liczbę $k$ nazywamy wektor

$ kX = (ka_1, ka_2, \ldots, ka_n), $

w szczególności $- X = (-a_1, -a_2, \ldots, -a_n)$ .

Iloczynem skalarnym wektorów $X = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ i $Y = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$ nazywamy liczbę

$ XY = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n , $

w szczególności

$ X^2 = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2, \textrm{ zatem } X^2 \geq 0. $

Nietrudno sprawdzić, że

$ (X - Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2 $

skąd wynika, że $2XY \leq X^2 + Y^2$ .

W dalszym ciągu przyjmiemy, że $n = 3$ .

Aby udowodnić nierówność (1), zauważmy najpierw, że jest ona równoważna nierówności (6), lub nierówności

$ (7) \qquad a^2bc + b^2ca + c^2ab <\leq a^4 + b^4 + c^4, $

którą zapiszemy w postaci wektorowej

$ (8) \qquad XY \leq X^2, $

gdzie $X = (a^2, b^2, c^2)$ , $Y = (bc, ca, ab)$ .

Wiemy, że

$ (9) \qquad 2XY \leq X^2 + Y^2. $

Otóż

$ Y^2 = b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = X \cdot Z, $

gdzie $Z = (b^2, c^2, a^2)$ .

Zatem

$ 2Y^2 \leq X^2 + Z^2. $

Lecz

$ Z^2 = b^4 + c^4 + a^4 = X^2 $

więc

$ (10) \qquad Y^2 \leq X^2. $

Z (9) i (10) wynika żądana nierówność

$ XY \leq X^2. $

Zauważmy, że nierówności (9) i (10) to nic innego, jak postać wektorowa poprzednich nierówności (4) i (5); dowód powyższy jest więc w gruncie rzeczy tylko innym ujęciem dowodu poprzedniego, nasuwa się jednak w sposób bardziej naturalny.