Wewnątrz czworościanu 
obrano punkt 
. Proste 
, 
, 
, 
przecinają przeciwległe ściany czworościanu w punktach 
, 
, 
, 
. Dowieść, że
![\[<br />
\frac{SA'}{AA'} + \frac{SB'}{BB'} + \frac{SC'}{CC'} + \frac{SD'}{DD'} = 1.<br />
\]](/files/tex/f76d378c6347ac7af49b26febdd70571b7ed5792.png) |
Poprowadźmy wysokości 
i 
czworościanów 
i 
o wspólnej podstawie 
(rys. 15). Stosunek 
równa się stosunkowi objętości tych czworościanów. Trójkąty prostokątne 
i 
są podobne, więc 
.
Wobec tego
![\[<br />
\frac{SD'}{DD'} = \frac{\textrm{obj. } SABC}{\textrm{obj. } ABCD}.<br />
\]](/files/tex/ff39c849df70bb8c5421724d610da68ef6660581.png) |
Analogicznie
![\[<br />
\frac{SA'}{AA'} = \frac{\textrm{obj. } SBCD}{\textrm{obj. } ABCD},\<br />
\frac{SB'}{BB'} = \frac{\textrm{obj. } SACD}{\textrm{obj. } ABCD},\<br />
\frac{SC'}{CC'} = \frac{\textrm{obj. } SABD}{\textrm{obj. } ABCD}.<br />
\]](/files/tex/cbdb1b1e61d08a972fd16a1bfc015ac0da7749b5.png) |
Dodając powyższe 
równości i biorąc pod uwagę, że
![\[<br />
\textrm{obj. }SABC + \textrm{obj. }SBCD + \textrm{obj. }SACD + \textrm{obj. }SABD = \textrm{obj. }ABCD<br />
\]](/files/tex/4644f41a510ec7078c419af61e13bcb6ad606178.png) |
otrzymujemy
![\[<br />
\frac{SA'}{AA'} + \frac{SB'}{BB'} + \frac{SC'}{CC'} + \frac{SD'}{DD'} = 1, \textrm{c.n.d.}<br />
\]](/files/tex/1500840197cd1e48647396d1b641897e66e1c3f0.png) |