XVIII ZMPB - Zadanie 20

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Niech $a$ i $b$ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $b<a$ oraz liczba $a^3+b^3+ab$ jest podzielna przez $ab(a-b)$ . Udowodnić, że $ab$ jest sześcianem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Niech $d$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ . Wówczas

$ a=dk, \qquad b=dl, $

gdzie $k$ i $l$ są względnie pierwszymi dodatnimi liczbami całkowitymi. Na mocy założeń zadania liczba

$ {a^3+b^3+ab\over ab(a-b)}= {(dk)^3+(dl)^3+d^2kl\over d^3kl(k-l)}= {dk^3+dl^3+kl\over dkl(k-l)} $

jest całkowita. Licznik ułamka stojącego po prawej stronie jest więc liczbą podzielną przez $l$ i wobec tego liczba $dk^3$ jest również podzielna przez $l$ . Liczby $k$ i $l$ są jednak względnie pierwze, zatem otrzymujemy podzielność $l\,|\,d$ . Analogicznie uzyskujemy $k\,|\,d$ i korzystając ponownie z względnej pierwszości liczb $k$ i $l$ stwierdzamy, że liczba $d$ jest podzielna przez $kl$ .

Istnieje więc taka dodatnia liczba całkowita $t$ , że $d=tkl$ . Liczba

$ {a^3+b^3+ab\over ab(a-b)}= {dk^3+dl^3+kl\over dkl(k-l)}= {tk^4l+tkl^4+kl\over tkl(k-l)}= {tk^3+tl^3+1\over t(k-l)} $

jest całkowita; w konsekwencji licznik ostatniego ułamka jest liczbą podzielną przez $t$ , co jest możliwe jedynie dla $t=1$ . Stąd kolejno otrzymujemy: $d=kl$ , $a=dk=k^2l$ oraz $b=dl=kl^2$ . W efekcie $ab=(kl)^3$ jest sześcianem liczby całkowitej, co kończy rozwiązanie.