XIV OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

W okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ wpisano pięciokąt foremny $A_1A_2A_3A_4A_5$ i na mniejszym z łuków o końcach $A_1$ , $A_5$ obrano punkt $M$ . Dowieść, że

$ (1) \qquad MA_1 + MA_3 + MA_5 = MA_2 + MA_4. $

Rozwiązanie

Równość (1), którą mamy udowodnić, jest związkiem między długościami pewnych cięciw okręgu. Otóż związkiem tego samego rodzaju jest znane twierdzenie Ptolemeusza: Iloczyn przekątnych czworokąta wpisanego w kolo równa się sumie iloczynów boków przeciwległych tego czworokąta1). Narzuca się myśl, aby skorzystać z tego twierdzenia dla dowodu równości (1). W rozważanej figurze istnieje $10$ takich czworokątów wpisanych w dany okrąg, których jednym wierzchołkiem jest $M$ , a trzy inne są wierzchołkami pięciokąta $A_1A_2A_3A_4A_5$ . Z uwagi na kształt równości (1), wybierzemy te z owych dziesięciu czworokątów, w których odcinki $MA_1$ , $MA_3$ , $MA_5$ występują tylko jako boki, a odcinki $MA_2$ i $MA_4$ tylko jako przekątne, lub na odwrót. Są to czworokąty

$ MA_1A_2A_3,\ MA_1A_2A_5,\ MA_1A_4A_5,\ MA_2A_3A_4,\ MA_3A_4A_5. $

Niech $a$ oznacza długość boku danego pięciokąta oraz $b$ - długość jego przekątnej. Stosując twierdzenie Ptolemeusza do wymienionych $5$ czworokątów, otrzymujemy następujące równości, które łatwo napisać nie patrząc wcale na rysunek:

$ \begin{split} \textrm{w czworokącie } MA_1A_2A_3 \colon a \cdot MA_1 + a \cdot MA_3 & = b \cdot MA_2 \\ \textrm{w czworokącie } MA_1A_2A_5 \colon b \cdot MA_1 + a \cdot MA_5 & = a \cdot MA_2 \\ \textrm{w czworokącie } MA_1A_4A_5 \colon a \cdot MA_1 + b \cdot MA_5 & = a \cdot MA_4 \\ \textrm{w czworokącie } MA_2A_3A_4 \colon b \cdot MA_3 & = a \cdot MA_2 + a \cdot MA_4 \\ \textrm{w czworokącie } MA_3A_4A_5 \colon a \cdot MA_3 + a \cdot MA_5 & = b \cdot MA_4 \end{split} $

Dodajemy te równości:

$ (2a + b) MA_1 + (2a + b) MA_3 + (2a + b) MA_5 = (2a + b) MA_2 + (2a + b) MA_4 $

i po podzieleniu przez $2a + b$ otrzymujemy żądaną równość (1).