XIV OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby $p$ , $q$ , $r$ spełniają równości

$ (1) \qquad p+q + r=1 $

$ (2) \qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 0 $

to dla dowolnych liczb $a$ , $b$ , $c$ zachodzi równość

$ (3) \qquad a^2 + b^2 + c^2 = (pa + qb + rc)^2 + (qa + rb + pc)^2 + (ra + pb + qc)^2. $

Rozwiązanie

Z równości (2) wynika, że

$ (4) \qquad pq + qr + rp = 0. $

Ponieważ

$ (p + q + r)^2 = p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + rp), $

więc na mocy (1) i (4)

$ (5) \qquad p^2 + q^2 + r^2 = 1. $

Zatem

$ \begin{split} &(pa + qb + rc)^2 + (qa + rb + pc)^2 + (ra + pb + qc)^2 =\\ &\qquad = (p^2 + q^2 + r^2) (a^2 + b^2 + c^2) + 2(pq + qr + rp) (ab + bc + ca)=\\ &\qquad = a^2 + b^2 + c^2. \end{split} $