XIV OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Rozwiązać w liczbach całkowitych układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{c} x + y + z = 3\\ x^3 + y^3 + z^3 = 3. \end{array} $

Rozwiązanie

Układ równań (1) jest równoważny układowi

$ (2) \qquad \begin{array}{c} x+y+z=3\\ (x + y + z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3) = 24. \end{array} $

W drugim z powyższych równań lewa strona jest wielomianem $3$ stopnia zmiennych $x$ , $y$ , $z$ , który jest tożsamościowo równy zeru, gdy $x = - y$ ; wielomian ten jest więc podzielny przez $x + y$ . Tak samo stwierdzamy, że jest on podzielny przez $y + z$ i przez $z + x$ . Zatem dla wszelkich $x$ , $y$ , $z$

$ (x, + y + z)^3 - (x^3 +y^3 + z^3) = k(x + y) (y + z) (z + y) $

gdzie $k$ jest współczynnikiem liczbowym. Wartość $k$ znajdziemy, podstawiając do obu stron powyższej tożsamości wartości liczbowe za $x$ , $y$ , $z$ , np. $x = 0$ , $y = z = 1$ . Otrzymujemy $k = 3$ , wobec czego układ (2) przybiera postać

$ (3) \qquad \begin{array}{c} x + y + z = 3\\ (x + y) (y + z) (z + x) = 8. \end{array} $

Zadanie sprowadza się więc do tego, aby liczbę $8$ przedstawić w postaci iloczynu trzech czynników całkowitych, których suma $x + y + y + z + z+ x = 6$ .

Ponieważ dzielnikami liczby $8$ są liczby $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ , więc łatwo stwierdzić, że istnieją dwa rozkłady o żądanej własności:

$ 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = (- 1) \cdot (- 1) \cdot 8. $

Stąd prosty rachunek prowadzi do wyniku, że układ (3), zatem również układ (1), ma $4$ rozwiązania w liczbach całkowitych: $(1, 1, 1)$ , $(-5, 4, 4)$ , $(4, -5, 4)$ , $(4, 4, -5)$ .