XIV OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych i zewnętrznych przy wierzchołkach $A$ i $B$ . Dowieść, że rzuty prostokątne punktu $C$ na te dwusieczne leżą na jednej prostej.

Rozwiązanie

Niech $M$ i $N$ oznaczają odpowiednio rzuty punktu $C$ na dwusieczną kąta $A$ trójkąta $ABC$ i na dwusieczną kąta doń przyległego (rys. 22).

Ponieważ dwusieczne $AM$ i $AN$ są prostopadłe, więc czworokąt $AMCN$ jest prostokątem. Punkt $S$ , w którym przecinają się przekątne $MN$ i $AC$ , jest środkiem $AC$ . Zauważmy, że prosta $NM$ jest symetryczna do prostej $AC$ względem prostej $ST$ równoległej do $AM$ , a prosta $AC$ jest symetryczna do prostej $AB$ względem prostej $AM$ . Kolejne zastosowanie odbić zwierciadlanych (symetrii) względem prostych równoległych $ST$ i $AM$ przekształca zatem prostą $NM$ na prostą $AB$ .

Ponieważ złożenie dwóch odbić zwierciadlanych figury względem dwóch osi równoległych jest przesunięciem równoległym tej figury, zatem prosta $NM$ jest równoległa do prostej $AB$ . Prosta $NM$ jest to więc prosta, która przechodzi przez środki boków $AC$ i $BC$ . To samo stosuje się do prostej $PQ$ poprowadzonej przez rzuty $P$ i $Q$ punktu $C$ na dwusieczną kąta $B$ trójkąta $ABC$ i na dwusieczną kąta przyległego. Zatem proste $MN$ i $PQ$ pokrywają się, c.n.d.

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu powołaliśmy się na ważne twierdzenie geometrii płaszczyzny, że przekształcenie figury, polegające na kolejnym zastosowaniu dwóch odbić zwierciadlanych (symetrii osiowych) względem dwóch prostych równoległych, jest przesunięciem równoległym tej figury. Dowód tego twierdzenia jest bardzo prosty.

Niech $a$ i $b$ będą dwiema prostymi równoległymi, a $\overline{W}$ wektorem tego przesunięcia równoległego w kierunku prostopadłym do $a$ , które $a$ przekształca w $b$ . Niech następnie $P$ będzie dowolnym punktem płaszczyzny, $Q$ punktem symetrycznym do $P$ względem prostej $a$ , $R$ - punktem symetrycznym do $Q$ względem prostej $b$ , wreszcie niech $A$ i $B$ będą środkami odcinków $PQ$ i $QR$ (rys. 23).

Wówczas

$ \overline{PR} = \overline{PQ} + \overline{QR} = \overline{2AQ} + \overline{2QB} = \overline{2AB} = \overline{2W}. $

Punkt $R$ otrzymuje się zatem przez przesunięcie punktu $P$ w kierunku prostopadłym do prostych $a$ i $b$ o długość równą podwójnemu odstępowi prostych $a$ i $b$ .

Takiemu samemu przesunięciu ulegnie każda figura, gdy ją przekształcimy najpierw przez symetrię względem prostej $a$ , potem względem prostej $b$ . Odwrotnie, każde przesunięcie równoległe można zastąpić złożeniem dwóch symetrii osiowych względem osi prostopadłych dó kierunku przesunięcia, których odstęp równa się połowie długości przesunięcia. Jedną z tych osi można poprowadzić przez dowolnie obrany punkt płaszczyzny.

Równie ważne jest twierdzenie:

Przekształcenie płaszczyzny, polegające na złożeniu dwóch symetrii osiowych względem osi $a$ i $b$ przecinających się w punkcie $O$ , jest obrotem dokoła punktu $O$ o kąt dwa razy większy od kąta między $a$ i $b$ .

Dowód, który ilustruje rysunek 24, jest analogiczny do poprzedniego: ,

$ \measuredangle POR = \measuredangle POQ + \measuredangle QOR = 2 \measuredangle AOQ + 2 \measuredangle QOB = 2 \measuredangle AOB = 2 \alpha. $

Odwrotnie, każdy obrót w płaszczyźnie można zastąpić złożeniem dwóch odbić zwierciadlanych względem dwóch osi przechodzących przez środek obrotu, których kąt równa się połowie kąta obrotu. Jedną z tych osi można poprowadzić przez dowolnie obrany punkt płaszczyzny.