XIV OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Dowieść, że wielomian

$ (1) \qquad P(x) = nx^{n+2} -(n + 2)x^{n+1} + (n + 2)x-n $

jest podzielny przez wielomian $(x - 1)^3$ .

Rozwiązanie

Trzeba dowieść, że dany wielomian $P(x)$ może być napisany w postaci $(x - 1)^3 \cdot Q(x)$ , gdzie $Q(x)$ jest wielomianem zmiennej $x$ . Odpowiednie przekształcenie wielomianu $P(x)$ będzie łatwiejsze, gdy zamiast zmiennej $x$ wprowadzimy zmienną $y = x - 1$ , tzn. jeżeli w danym wielomianie podstawimy $x = 1 + y$ . Wtedy

$ \begin{split} P(x) &= n(1 + y)^{n + 2} - (n + 2) (1 + y)^{n+1} + (n + 2) (1 + y) - n =\\ & = n \left[ 1 + (n + 2)y + \frac{1}{2}(n + 2)(n + 1)y^2 + A(y)y^3 \right]+\\ &\qquad -(n + 2) \left[1 + (n+ 1)y + \frac{1}{2}(n + 1)ny^2 + B(y)y^3 \right] +\\ &\qquad +(n + 2) + (n + 2)y - n, \end{split} $

gdzie $A(y)$ i $B(y)$ są pewnymi wielomianami zmiennej $y$ , których dokładniejsze wyznaczenie nie będzie nam potrzebne. Porządkując otrzymane wyrażenie względem potęg $y$ otrzymujemy

$ \begin{split} P(x) = [n - (n& + 2) + (n + 2) - n] + [n(n + 2) - (n + 2)(n + 1) + n + 2]y +\\ &+\left[ \frac{1}{2} n(n + 2) (n + 1) - \frac{1}{2}(n + 2) (n + 1)n \right] y^2 + \\ &+[nA(y) -(n+ 2)B(y)]y^3, \end{split} $

zatem

$ (2) \qquad P(x) = y^3[nA(y) - (n + 2) B(y)] = (x - 1)^3 \cdot Q(x), $

gdzie $Q(x)$ równa się pewnemu wielomianowi zmiennej $x$ , którego współczynników nie ma potrzeby wyznaczać, gdyż ze wzoru (2) wynika już, że $(x - 1)^3$ jest dzielnikiem wielomianu $P(x)$ .