XIV OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

Z punktu $S$ przestrzeni wychodzą $3$ półproste: $SA$ , $SB$ i $SC$ , z których żadna nie jest prostopadła do obu pozostałych. Przez każdą z tych półprostych poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny zawierającej dwie pozostałe półproste. Dowieść, że poprowadzone płaszczyzny przecinają się wzdłuż jednej prostej $d$ .

Rozwiązanie

W przypadku, gdy dane półproste leżą w jednej płaszczyźnie, twierdzenie jest oczywiste, prosta $d$ jest wówczas prostopadła do danej płaszczyzny. Przyjmijmy zatem, że półproste $SA$ , $SB$ , $SC$ tworzą kąt trójścienny. Według założenia, co najwyżej jeden kąt płaski tego trójścianu jest prosty; przypuśćmy np. że $\measuredangle ASB \ne 90^\circ$ i $\measuredangle ASC \ne 90^\circ$ .

Obierzmy na krawędzi $SA$ dowolny punkt $A_1$ różny od $S$ i poprowadźmy przez $A_1$ płaszczyznę $\pi$ prostopadłą do prostej $SA_1$ ; przecina ona proste $SB$ i $SC$ w pewnych punktach $B_1$ i $C_1$ (rys. 25).

Niech $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ oznaczają płaszczyzny poprowadzone odpowiednio przez krawędzie $SA$ , $SB$ , $SC$ trójścianu $SABC$ prostopadle do ścian $BSC$ , $CSA$ , $ASB$ , a $m$ , $n$ , $p$ proste przecięcia płaszczyzn $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ z płaszczyzną $\pi$ .

Ponieważ $\alpha \bot \pi$ i $\alpha \bot \textrm{pł. } BSC$ , więc $\alpha \bot B_1C_1$ , wobec czego prosta $m$ przecina prostą $B_1C_1$ w pewnym punkcie $M$ i jest do niej prostopadła, $A_1M \bot B_1C_1$ . Ponieważ $\beta \bot \textrm{pł. } ASC$ i $\pi \bot \textrm{pł. }ASC$ , więc $\pi \bot \textrm{pł. }ASC$ , zatem również $\pi \bot A_1C_1$ , a że $n$ i $A_1C_1$ leżą w płaszczyźnie $\pi$ , więc się przecina ją w pewnym punkcie $N$ i $B_1N \bot A_1C_1$ . Tak samo stwierdzamy, że prosta $p$ przecina prostą $A_1B_1$ w pewnym punkcie $P$ i jest do niej prostopadła, tj. $C_1P \bot A_1B_1$ .

Proste $A_1M$ , $B_1N$ i $C_1P$ zawierają zatem wysokości trójkąta $A_1B_1C_1$ , więc przecinają się w jednym punkcie $H$ . Udowodniliśmy, że płaszczyzny $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ mają wspólną prostą $d = SH$ .