XIV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

III

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n-1}. $

Rozwiązanie

Oznaczmy dla krótkości $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}= S_n$ . Mamy dowieść, że $S_n > \sqrt{n - 1}$ dla każdego naturalnego $n$ . Nasuwa się myśl, żeby zastosować indukcję zupełną.

Twierdzenie jest prawdziwe dla $n = 1$ , gdyż $S_1 = 1 > 0$ . Przypuśćmy, że $S_k > \sqrt{k-1}$ dla pewnego naturalnego $k \geq 1$ . Wówczas

$ S_{k+1} = S_k + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k-1} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}. $

Twierdzenie będzie dowiedzione, jeśli wykażemy, że

$ \sqrt{k - 1} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \geq \sqrt{k}. $

Przekształcając tę nierówność, otrzymujemy kolejno nierówności równoważne

$ \sqrt{k^2 - 1} + 1 \geq \sqrt{k(k + 1)}, $

$ k^2 - 1 + 1 + 2\sqrt{k^2 - 1} \geq k^2 + k, $

$ 2\sqrt{k^2 - 1} \geq k, $

$ 3k^2 \geq 4. $

Otrzymaliśmy nierówność, która nie jest prawdziwa dla $k = 1$ , wobec czego z założenia indukcyjnego nie możemy wysnuć potrzebnego nam wniosku. Jednakże jest ona prawdziwa dla każdego naturalnego $k \geq 2$ . Wobec tego trzeba zmodyfikować poprzednie rozumowanie. Stwierdzamy prawdziwość twierdzenia nie tylko dla $n = 1$ , ale i dla $n = 2$ , mianowicie $S_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{1}$ .

Następnie zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego $k \geq 2$ ; rachunek poprzedni prowadzi do wniosku, że jest ono wówczas prawdziwe dla $k + 1$ , a zatem na podstawie indukcji jest prawdziwe dla każdego naturalnego $n$ .

Zaniedbanie sprawdzenia słuszności twierdzenia dla $n = 2$ byłoby poważnym błędem. Jeżeli twierdzenie $T$ o liczbie naturalnej $n$ jest prawdziwe dla $n = 1$ i jeżeli dla każdego naturalnego $k > 1$ z prawdziwości twierdzenia $T$ dla $n = k$ wynika jego prawdziwość dla $n = k + 1$ , to stąd wcale nie można wnioskować, że twierdzenie $T$ jest prawdziwe dla każdego naturalnego $n$ . Popełniając ten błąd można by ,,udowodnić'' różne fałszywe twierdzenia, np. takie: ,,W dowolnym ciągu $n$ liczb całkowitych każda liczba ma tę samą resztę w dzieleniu przez $2$ ''. Oto ,,dowód'': dla $n = 1$ twierdzenie jest prawdziwe.

Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla pewnego $k > 1$ . Wówczas jest ono również prawdziwe dla $n = k + 1$ . Istotnie, niech $a_1, \ldots, a_{k +1}$ będzie dowolnym ciągiem $k + 1$ liczb naturalnych. Na mocy założenia indukcyjnego liczby $a_1, \ldots, a_k$ i tak samo liczby $a_2, \ldots, a_{k + 1}$ mają tę samą resztę w dzieleniu przez $2$ . Ponieważ $k > 1$ , więc ciągi $a_1, \ldots, a_k$ i $a_2, \ldots, a_{k + 1}$ mają co najmniej jedną liczbę wspólną, zatem wszystkie liczby $a_1, \ldots, a_{k + 1}$ mają tę samą resztę przy dzieleniu przez $2$ .

Zauważmy, że dowód nierówności $S_n > \sqrt{n - 1}$ można bardzo łatwo przeprowadzić bez stosowania indukcji. Gdy $n = 1$ , nierówność jest prawdziwa, gdy zaś $n > 1$ , to

$ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} > \sqrt{n-1}. $