XIV OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XIV OM, 1962-1963

Etap:

III

Przez wierzchołek kąta trójściennego, w którym żadna krawędź nie jest prostopadła do przeciwległej ściany, poprowadzono w płaszczyźnie każdej ściany prostą prostopadłą do przeciwległej krawędzi. Dowieść, że otrzymane trzy proste leżą w jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Niech $SM$ , $SN$ i $SP$ oznaczają proste odpowiednio prostopadłe do krawędzi $SA$ , $SB$ , $SC$ trójścianu $SABC$ i leżące w płaszczyznach ścian $BSC$ , $CSA$ , $ASB$ . Wobec założenia, że żadna krawędź trójścianu nie jest prostopadła do przeciwległej ściany, proste $SM$ , $SN$ i $SP$ są określone jednoznacznie.

Niech następnie $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ oznaczają płaszczyzny poprowadzone odpowiednio przez krawędzie $SA$ , $SB$ , $SC$ i prostopadłe do prostych $SM$ , $SN$ , $SP$ . Płaszczyzny $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ są odpowiednio prostopadłe do płaszczyzn $SBC$ , $CSA$ , $ASB$ , wobec czego mają one wspólną prostą $d$ (patrz zadanie 18). Ponieważ $SM$ jest prostopadłe do płaszczyzny $\lambda$ zawierającej prostą $d$ , więc $SM \bot d$ i tak samo $SN \bot d$ , $SP \bot d$ .

Proste $SM$ , $SN$ , $SP$ leżą, zatem w jednej płaszczyźnie prostopadłej do prostej $d$ (rys. 33).