XIII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Dowieść, że jeżeli $x^2 + y^2 = a^2$ i $a \geq 0$ , to

$ x + y \leq a \sqrt{2}. $

Rozwiązanie

Ponieważ

$ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2x^2 + 2y^2 - (x - y)^2 = 2a^2 - (x - y)^2 $

a $(x -y)^2 \geq 0$ , więc $(x + y)^2 \leq 2a^2$ , skąd $|x + y| \leq a \sqrt{2}$ , tym bardziej więc

$ x+y \leq a\sqrt{2}. $

Uwaga. Posługując się początkowymi wiadomościami z geometrii analitycznej można podać prostą interpretację geometryczną udowodnionego twierdzenia. W układzie współrzędnych prostokątnych $(x,y)$ równanie $x^2 + y^2 = a^2$ ( $a \geq 0$ ) przedstawia okrąg o środku w początku układu i promieniu równym $a$ . Równanie $x + y = k$ ( $k \ne 0$ ) przedstawia prostą wyznaczającą na osiach współrzędnych odcinki równe $k$ .

Suma $x + y$ współrzędnych punktu okręgu osiąga największą wartość $k$ , gdy prosta $x + y = k$ jest styczna do okręgu w punkcie pierwszej ćwiartki (rys. 1). Wówczas $k = a \sqrt{2}$ . Dla każdego punktu okręgu zachodzi zatem nierówność $x + y \leq a \sqrt{2}$ .