XIII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Ile cyfr mają razem wszystkie liczby naturalne co najwyżej $m$ -cyfrowe?

Rozwiązanie

Liczb naturalnych jednocyfrowych jest $c_1 = 9$ ; liczb dwucyfrowych jest $c_2= 10^2 -10= 10 \cdot 9$ , mają one $2 \cdot 10 \cdot 9$ cyfr; liczb trzycyfrowych jest $c_3=10^3-10^2= 10^2 \cdot 9$ , ilość ich cyfr wynosi $3 \cdot 10^2 \cdot 9$ itd. Wreszcie liczb $m$ -cyfrowych jest $c_m = 10^m -10^{m-1} = 10^{m-1} \cdot 9$ ; mają one $c_m =m \cdot 10^{m-1} \cdot 9$ cyfr.

Wszystkie liczby co najwyżej $m$ -cyfrowe mają razem

$ (1) \qquad c = c_1 + c_2 + \ldots + c_m = 9 (1 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 10^2 + \ldots + m \cdot 10^{m-1}) $

cyfr. Aby obliczyć wartość wyrażenia znajdującego się we wzorze (1) w nawiasach, rozwiążemy najpierw zadanie ogólniejsze, a mianowicie znajdziemy wzór na sumę

$ (2) \qquad S = 1+ 2a + 3a^2 + \ldots + ma^{m-1}, $

gdzie $a \ne 1$ , w zależności od $a$ . Z równości (2) otrzymujemy

$ (3) \qquad a \cdot S = a + 2a^2 + 3a^3 + \ldots + ma^m. $

Odejmując równość (3) od (2) mamy

$ S -aS = 1+ a + a^2 + \ldots + a^{n-1} - ma^m = \frac{1-a^m}{1-a} - ma^m, $

a stąd

$ S= \frac{1-a^n}{(1-a)^2} - \frac{ma^m}{1-a} = \frac{1-a^m-ma^m(1-a)}{(1-a)^2}. $

Po uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy wzór

$ (4) \qquad S= \frac{1}{(a-1)^2} \left[ma^{m+1} - (m + 1) a^m + 1 \right]. $

Biorąc w (2) i (4) $a = 10$ i podstawiając otrzymaną wartość sumy (2) do równości (1), otrzymujemy poszukiwaną liczbę

$ c = \frac{1}{9} \left[m \cdot 10^{m+1} -(m + 1) \cdot 10^m + 1 \right] $

Uwaga. Wzór (4) wyprowadziliśmy przy założeniu, że $a \ne 1$ . Gdy $a = 1$ , wzór (4) nie ma sensu; w tym przypadku wartość $S$ otrzymamy podstawiając $a = 1$ we wzorze (2):

$ S = 1 + 2 + 3 + \ldots + m, $

zatem według znanego wzoru na postęp arytmetyczny

$ (5) \qquad S = \frac{m (m + 1)}{2}. $

Możemy jednak do wzoru (5) dojść na podstawie wzoru (4) przeprowadzając następujące rozumowanie.

Niech $a -1= x$ ; podstawiającwe wzorze (4) $a = 1 + x$ otrzymujemy

$ S = \frac{1}{x^2} \left[ m (1 + x)^{m+1} -(m + 1) (1 + x)^m + 1\right] . $

Rozwińmy $(1 + x)^{m+1}$ i $(1 + x)^m$ według wzoru dwumianowego Newtona. Obliczymy tylko wyrazy zawierające $x^0$ , $x$ i $x^2$ ; pozostałe wyrazy tworzą wielomian zmiennej $x$ , w którym wszystkie wyrazy są stopnia co najmniej trzeciego i możemy napisać

$ \begin{split} S & = \frac{1}{x^2} \left[ m + m(m + 1)x+ \frac{1}{2} m^2(m+ 1) x^2 - (m + 1) -m (m + 1) x + \right. \\ & \left. - \frac{1}{2} (m + 1) m (m - 1) x^2 + 1 + x^3 \cdot f (x)\right] = \frac{1}{x^x} \left[ \frac{1}{2} m (m + 1) x^2 + x^3 \cdot f (x)\right], \end{split} $

gdzie $f(x)$ oznacza pewien wielomian zmiennej $x$ .

Stąd

$ S = \frac{1}{2} m(m+1) + x \cdot f(x) $

lub

$ (6) \qquad S = \frac{1}{2} m (m + 1) + (a - 1) \cdot f (a - 1). $

Podstawiając we wzorze (6) $a = 1$ otrzymujemy wzór (5). Okazuje się więc, że wzór (6) daje wartość sumy (2) dla każdej wartości $a$ . Jest on jednak przydatny do obliczenia tej sumy tylko w przypadku, gdy $a = 1$ ; gdy $a \ne 1$ , trzeba mu przywrócić postać (4).