XIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Dowieść, że prostopadłe opuszczone ze środków kół dopisanych trójkąta na odpowiednie boki trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Bardzo proste rozwiązanie zadania można wysnuć ze spostrzeżenia, że na każdym boku trójkąta punkt styczności koła wpisanego w trójkąt i punkt styczności odpowiedniego koła dopisanego leżą symetrycznie względem środka tego boku. Jeżeli na przykład koło wpisane w trójkąt $ABC$ styka się z bokiem $BC$ w punkcie $K$ , a koło dopisane w punkcie $L$ , to, przyjmując zwykłe oznaczenia boków trójkąta, mamy $CK = \frac{1}{2} (a + b - c)$ , $BL = \frac{1}{2} (a + b - c)$ , zatem $CK = BL$ , tj. punkty $K$ i $L$ są symetryczne względem środka $M$ boku $BC$ (rys. 3).

Niech $S$ będzie środkiem koła wpisanego w trójkąt $ABC$ , $O$ - środkiem koła opisanego na tym trójkącie, a $T$ punktem symetrycznym do punktu $S$ względem punktu $O$ . Ponieważ $SO = OT$ , $KM = ML$ , a proste $SK$ i $OM$ są równoległe, więc prosta $TL$ jest symetryczna do prostej $SK$ względem osi $OM$ . Wobec tego prosta $TL$ jest prostopadła do boku $BC$ w punkcie styczności z kołem dopisanym, przechodzi zatem przez środek tego koła. Takie samo rozumowanie stosuje się do boków $AB$ i $AC$ . Stąd wynika, że przez punkt $T$ przechodzą prostopadłe poprowadzone ze środków kół dopisanych do odpowiednich boków trójkąta.