XIII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Dowieść, że prosta symetryczna do środkowej $CS$ trójkąta $ABC$ względem dwusiecznej kąta $C$ tego trójkąta dzieli bok $AB$ na odcinki proporcjonalne do kwadratów boków $AC$ i $BC$ .

Rozwiązanie

Niech $CM$ (rys. 4) będzie prostą symetryczną do środkowej $CS$ względem dwusiecznej $CD$ kąta $C$ trójkąta $ABC$ .

Ponieważ pola trójkątów o tej samej wysokości są proporcjonalne do podstaw tych trójkątów, więc

$ (1) \qquad \frac{\triangle ACM}{\triangle SCB} = \frac{AM}{SB}, \quad \frac{\triangle ACS}{\triangle MCB} = \frac{AS}{MB}. $

Z równości $\measuredangle ACD = \measuredangle DCB$ i $\measuredangle MCD = \measuredangle DCS$ wynika, że $\measuredangle ACM = \measuredangle SCB$ a $\measuredangle ACS = \measuredangle MCB$ . Pola trójkątów mających jedną parę równych kątów są proporcjonalne do iloczynów boków tworzących te kąty, zatem

$ (2) \qquad \frac{\triangle ACM}{\triangle SCB} = \frac{AC \cdot MC}{SC \cdot BC},\quad \frac{\triangle ACS}{\triangle MCB} = \frac{AC \cdot SC}{MB \cdot BC}. $