XIII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Rozłożyć na czynniki rzeczywiste trójmian

$ x^4 + px^2 + q, $

gdzie $p$ i $q$ są liczbami rzeczywistymi spełniającymi nierówność

$ p^2 - 4q < 0. $

Rozwiązanie

Z nierówności $p^2 - 4g < 0$ wynika, że trójmian $y^2 + py + q$ nie ma pierwiastków rzeczywistych; w takim razie również trójmian $x^4 + px^2 + q$ nie ma pierwiastków rzeczywistych, gdyby bowiem liczba $x$ była pierwiastkiem rzeczywistym drugiego trójmianu, to liczba $y=x^2$ byłaby rzeczywistym pierwiastkiem pierwszego trójmianu. W takim razie poszukiwany rozkład może mieć tylko postać

$ x^4 + px^2 + q = (x^2 + \alpha x + \beta) (x^2 + \gamma x + \delta). $

Porównując współczynniki przy tych samych potęgach $x$ po obu stronach powyższej równości otrzymujemy równania

$(1) \qquad \alpha + \gamma = 0,$

$(2) \qquad \beta + \delta + \alpha \gamma = p,$

$(3) \qquad \alpha \delta + \beta \gamma = 0,$

$(4) \qquad \beta \delta = q.$

Z równania (1) mamy $\gamma = - \alpha$ , podstawienie do równania (3) daje

$ \alpha (\delta - \beta) = 0,\ \textrm{ stąd } \alpha = 0 \textrm{ lub } \delta = \beta. $

a) Jeżeli $\alpha = 0$ , to z równań (2) i (4) wynika, że

$ \beta + \delta = p, \quad \beta \delta = q. $

Ten układ równań nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo $p^2 - 4q< 0$ .

b) $\delta = \beta$ ; z równania (4) otrzymujemy wówczas

$ \beta = \delta = \pm \sqrt{q}. $

Powyższe wartości $\beta$ i $\delta$ są rzeczywiste, gdyż z nierówności $p^2 - 4q < 0$ wynika, że $4q > p^2$ , zatem $q > 0$ .

Według równania (2) $\alpha \gamma = p - \beta - \delta$ , wobec czego dla wyznaczenia $\alpha$ i $\gamma$ mamy układ równań

$ \alpha + \gamma = 0, $

$ \alpha \gamma = p \mp 2 \sqrt{q}. $

Stąd

$ a^2 = \pm 2 \sqrt{q} - p. $

Z nierówności $4q > p^2$ wynika, że $2 \sqrt{q} > |p| \geq p$ , zatem $2 \sqrt{g} - p > 0$ ; Ponieważ zaś $4q - p^2 = (2 \sqrt{q} - p) (2 \sqrt{g} + p) > 0$ , więc też $2 \sqrt{q} + p > 0$ .

Aby zatem otrzymać rzeczywistą wartość na $\alpha$ , należy w powyższym wzorze na $\alpha^2$ wziąć znak górny. Otrzymujemy następujące rzeczywiste wartości współczynników $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ :