XIII OM - I - Zadanie 7

Dane są na płaszczyźnie odcinki i . Znaleźć na tejże płaszczyźnie taki punkt , żeby trójkąty i były podobne, a przy tym kąt był równy kątowi .

Rozwiązanie

W podobieństwie trójkątów i wierzchołkowi jednego trójkąta ma odpowiadać według warunków zadania wierzchołek drugiego trójkąta. Wierzchołkowi trójkąta może odpowiadać bądź wierzchołek , bądź wierzchołek trójkąta , wobec czego można poszukiwać odpowiednich dwóch rodzajów rozwiązań. Ograniczymy się do wyznaczenia rozwiązań, w których punktowi odpowiada punkt . Rozwiązania drugiego rodzaju otrzymuje się w sposób analogiczny.

Rozróżnimy 3 przypadki.

1. Proste i przecinają się.

Przypuśćmy, że trójkąty i spełniają warunki zadania (rys. 6). Poprowadźmy w tych trójkątach wysokości i . Wówczas

tzn. odległości punktu od prostych i są w danym stosunku, równym stosunkowi podobieństwa obu trójkątów. Stąd otrzymujemy jedno miejsce geometryczne punktu : jest nim para prostych przechodzących przez punkt przecięcia prostych i i dzielących kąty między tymi prostymi na części o danym stosunku sinusów równym stosunkowi . Konstrukcja prostych i jest łatwa do znalezienia, przedstawia ją rys. 7.

b) Ponieważ odpowiednie odcinki figur podobnych są proporcjonalne, więc

tzn. rzuty punktu na proste i dzielą odcinki i w tym samym stosunku. Ta własność punktu wskazuje drugie miejsce geometryczne tego punktu. Jest nim prosta (rys. 8), gdzie jest punktem przecięcia prostopadłych do i poprowadzonych w punktach i , a jest punktem przecięcia prostopadłych do i poprowadzonych w punktach i .

Istotnie, jeśli jest dowolnym punktem prostej , a i jego rzutami na i , to na podstawie tw. Talesa

jeśli zaś punkt obierzemy poza prostą , na przykład tak jak na rys. 8, to

Żądany punkt znajduje się w przecięciu obu miejsc geometrycznych. Jeżeli prosta nie przechodzi przez punkt przecięcia prostych i , to przecina co najmniej jedną z pary prostych pierwszego miejsca geometrycznego, więc zadanie ma jedno lub dwa rozwiązania. Jeżeli prosta przechodzi przez punkt przecięcia prostych i (co ma miejsce wtedy, gdy proste i są równoległe), ale nie pokrywa się z żadną z prostych , , zadanie nie ma rozwiązania. Jeżeli wreszcie prosta pokrywa się z jedną z prostych , , zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań; jako punkt możemy wówczas obrać dowolny punkt prostej .

Nasuwa się pytanie, przy jakim położeniu odcinków i prosta jest równoległa do jednej z prostych , pierwszego miejsca geometrycznego, a przy jakim pokrywa się ona z jedną z tych prostych. Pozostawiamy to jako zagadnienie do rozwiązania.

2. Proste i są równoległe.

Jedno miejsce geometryczne punktu znajdujemy podobnie, jak w przypadku 1. Wysokości i trójkątów podobnych i są proporcjonalne do ich podstaw i . Gdy , punkt musi się znajdować na jednej z prostych i równoległych do prostych i i dzielących odstęp między tymi prostymi wewnętrznie lub zewnętrznie w stosunku . Gdy zaś , wtedy prostej nie ma, punkt musi leżeć na prostej równoległej do i i równoodległej od tych prostych. Aby znaleźć na prostych i punkty spełniające warunek zadania, rozpatrzmy dwie możliwości.

a) Kierunek od do jest zgodny z kierunkiem od do .

Przypuśćmy, że punkt prostej jest rozwiązaniem zadania (rys. 9).

Niech będzie trójkątem symetrycznym do trójkąta względem prostej . Ponieważ półproste i są jednakowo nachylone do prostych równoległych i , więc się pokrywają; tak samo pokrywają się półproste i . Stąd otrzymujemy następujące rozwiązanie zadania.

Budujemy odcinek symetryczny do względem prostej .

Jeżeli , to proste i przecinają się w punkcie , który leży na prostej i jest rozwiązaniem zadania, gdyż trójkąt jest symetryczny do trójkąta jednokładnego z trójkątem . Jeżeli , ale odcinki i nie są symetryczne względem prostej , zadanie nie ma rozwiązania, gdyż dla żadnego punktu prostej półproste i nie pokrywają się. Jeżeli wreszcie odcinki i są symetryczne względem prostej , punkty i pokrywają się z punktami i ; zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, punkt może być dowolnym punktem prostej .

Przypuśćmy z kolei, że pewien punkt prostej jest rozwiązaniem zadania (rys. 10). Oczywiście może się to zdarzyć tylko w przypadku, gdy , gdyż tylko wtedy istnieje prosta .

Półproste i , jednakowo nachylone do równoległych i , muszą się pokrywać; tak samo nokrywają się półproste i . Na prostej istnieje więc jeden punkt o żądanej własności, jest to punkt przecięcia prostych i .

b) Kierunki od do i od do są przeciwne.

Podobnie jak poprzednio, stwierdzamy, że na prostej istnieje jeden punkt będący rozwiązaniem gadania; jest to punkt przecięcia prostych i (rys. 11).

Zakładając, że , przypuśćmy, że pewien punkt prostej jest rozwiązaniem zadania (rys. 12).

Niech będzie punktem przecięcia prostych i ; punkt leży na prostej , gdyż wysokości trójkątów jednokładnych i są w stosunku odpowiednich boków. Wówczas , zatem proste i są symetryczne względem symetralnej odcinka . Poszukiwany punkt jest więc punktem symetrycznym do punktu względem tej symetralnej.

3. Proste i pokrywają się.

W tym przypadku wysokości poszukiwanych trójkątów i muszą być równe, więc rozwiązanie zadania może istnieć tylko wtedy, gdy . Jeżeli kierunek od do jest zgodny z kierunkiem od do , rozwiązania nie ma, gdyż dla żadnego punktu , nie leżącego na prostej , kąty i nie są równe.

Jeżeli zaś , a kierunek od do i kierunek od do są przeciwne, rozwiązań jest nieskończenie wiele, punkt może być dowolnym punktem wspólnej symetralnej odcinków i (rys. 13).