XIII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Dany jest czworokąt skośny $ABCD$ i płaszczyzna przecinająca proste $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ różnych od $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Dowieść, że

$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} = 1. $

Rozwiązanie

Niech $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ oznaczają odpowiednio rzuty prostokątne punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ na daną płaszczyznę (rys. 14). Trójkąty prostkątne $AA'M$ i $BB'M$ mają równe kąty ostre przy wierzchołku $M$ , więc są podobne. Zatem

$ \frac{AM}{MB} = \frac{AA'}{BB'} \textrm{ i podobnie } \frac{BN}{NC} = \frac{BB'}{CC'},\ \frac{CP}{PD} = \frac{CC'}{DD'},\ \frac{DQ}{QA} = \frac{DD'}{AA'}. $

Wobec tego

$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} = \frac{AA'}{BB'} \cdot \frac{BB'}{CC'} \cdot \frac{CC'}{DD'} \cdot \frac{DD'}{AA'} = 1. $

Uwaga. Twierdzenie można uogólnić zastępując czworokąt dowolną łamaną zamkniętą.