XIII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Udowodnić, że jeżeli

$ (1) \qquad \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C=1 $

i $A$ , $B$ , $C$ są kątami ostrymi, to

$ (2) \qquad A + B + C < 180^\circ. $

Rozwiązanie

Aby udowodnić, że suma kątów ostrych $A$ , $B$ , $C$ jest mniejsza od $180^\circ$ , wystarczy dowieść, że $\cos \frac{A+B+C}{2} > 0$ .

Zauważmy, że każdy z kątów $\frac{A-B+C}{2}$ , $\frac{A+B-C}{2}$ , $\frac{B+C-A}{2}$ zawiera się między $- 45^\circ$ i $90^\circ$ , cosinusy tych kątów są zatem dodatnie. Nierówność (2) będzie więc udowodniona, gdy wykażemy że

$ \cos \frac{A+B+C}{2} \cdot \cos \frac{A-B+C}{2} \cdot \cos \frac{A+B-C}{2} \cdot \cos \frac{B+C-A}{2} > 0. $

W tym celu przekształcimy lewą stronę $L$ powyższej nierówności:

$ \begin{split} L & = \frac{1}{2} [ \cos (A + B) + \cos C] \cdot \frac{1}{2} [\cos C + \cos (A - B)] = \\ & = \frac{1}{4} \{ [\cos (A+B) + \cos (A-B)] \cdot \cos C + \cos (A+B) \cos (A - B) + \cos^2 C \} = \\ & = \frac{1}{4} (2 \cos A \cos B \cos C + \cos^2 A \cos^2 B - \sin^2 A \sin^2 B + \cos^2 C) = \\ & = \frac{1}{4} (2 \cos 4 \cos B \cos C + \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C - 1). \end{split} $

Uwzględniając założenie (1) otrzymujemy stąd

$ L = \frac{1}{2} \cos A \cos B \cos C, $

a ponieważ $\cos A > 0$ , $\cos B > 0$ i $\cos C > 0$ , zatem $L > 0$ , a stąd wynika nierówność (2).

Uwaga. Powyższy wynik można interpretować jako pewne twierdzenie stereometrii. Obierzmy w przestrzeni układ współrzędnych prostokątnych $OXYZ$ (rys. 15) i niech $P$ będzie punktem o współrzędnych

$ x = \cos A, \ y = \cos B,\ z = \cos C. $

Ponieważ kąty $A$ , $B$ , $C$ są ostre, więc $x > 0$ , $y > 0$ , $z > 0$ , tzn. punkt $P$ leży wewnątrz kąta trójściennego, którego krawędziami są dodatnie półosie $OX$ , $OY$ , $OZ$ . Odległość $OP$ jest równa $1$ , gdyż

$ OP^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1. $

Niech $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ będą kątami, które półprosta $OP$ tworzy z dodatnimi półosiami $OX$ , $OY$ , $OZ$ ; kąty te są ostre. Niech $P'$ będzie rzutem punktu $P$ na oś $0X$ . Wówczas

$ x = OP' = OP \cos \alpha = \cos \alpha, \textrm{ więc } \cos \alpha = \cos A, $

a ponieważ $\alpha$ i $A$ są kątami ostrymi, więc

$ \alpha = A \textrm{ i podobnie } \beta = B \textrm{ i } \gamma = C. $

A zatem, według udowodnionego wyżej twierdzenia,

$ \alpha + \beta + \gamma < 180^\circ $

tzn. suma trzech kątów, jakie z krawędziami kąta trójściennego, trójprostokątnego tworzy półprosta poprowadzona wewnątrz tego kąta z jego wierzchołka, jest mniejsza od $180^\circ$ .