XIII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Dany jest czworokąt $ABCD$ , którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $M$ . Udowodnić, że $8$ punktów, w których prostopadle poprowadzone z punktu $M$ do prostych $AB$ , $BC$ , $CD$ i $DA$ przecinają boki czworokąta, leży na okręgu.

Rozwiązanie

Niech $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ oznaczają spodki prostopadłych opuszczonych z punktu $M$ odpowiednio na boki $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ (rys. 16).

Udowodnimy najpierw, że punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ leżą na okręgu, wykazując, że suma dwóch przeciwległych kątów czworokąta $PQRS$ równa się $180^\circ$ .

Każdy z czworokątów $MPAS$ , $MQBP$ , $MRCQ$ i $MSDR$ ma dwa kąty proste, więc wierzchołki każdego z nich leżą na okręgu. Według twierdzenia o kątach wpisanych

$ \measuredangle MPS = \measuredangle MAS \textrm{ i } \measuredangle MRS = \measuredangle MDS. $

Zatem

$ (1) \qquad \measuredangle MPS + \measuredangle MRS = \measuredangle MAS + \measuredangle MDS = 90^\circ, $

gdyż $AM \bot DM$ .

Podobnie

$ \measuredangle MPQ = \measuredangle MBQ,\quad \measuredangle MRQ = \measuredangle MCQ, $

więc

$ (2) \qquad \measuredangle MPQ+ \measuredangle MRQ= \measuredangle MBQ + \measuredangle MCQ = 90^\circ. $

Dodając równości (1) i (2) i uwzględniając, że $\measuredangle MPS + \measuredangle MPQ = \measuredangle SPQ$ , a $\measuredangle MRS + \measuredangle MRQ = \measuredangle SRQ$ , otrzymujemy:

$ \measuredangle SPQ + \measuredangle SRQ = 180^\circ $

Punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ leżą więc istotnie na okręgu. Należy jeszcze dowieść, że na tym samym okręgu leżą również punkty $P_1$ , $Q_1$ , $R_1$ , $S_1$ , w których proste $MP$ , $MQ$ , $MR$ i $MS$ przecinają odpowiednio boki $CD$ , $DA$ , $AB$ i $BC$ . Wystarczy to udowodnić dla jednego z tych punktów, np. $Q$ , gdyż dla każdego z pozostałych rozumowanie jest takie samo (rys. 17).

Otóż

$ \measuredangle PSQ_1 = \measuredangle PSA = \measuredangle PMA = 90^\circ - \measuredangle PMB = 90^\circ - \measuredangle PQB = \measuredangle PQQ_1. $

Z równości kątów $PSQ_1$ i $PQQ_1$ wynika, że punkty $P$ , $Q$ , $S$ , $Q_1$ leżą, na okręgu c.n.d.