XIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby $x$ , $y$ , $z$ spełniają równanie

$ (1) \qquad x + y + z = a, $

$ (2) \qquad \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}, $

to co najmniej jedna z nich jest równa $a$ .

Rozwiązanie

Jeżeli $x$ , $y$ , $z$ spełniają równanie (1) i (2), to

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}. $

Stąd

$ (3) \qquad (yz + zx + xy) (x + y + z) - xyz = 0. $

Lewą stronę $L (x, y, z)$ równości (3) można przedstawić w postaci wielomianu zmiennej $x$ . Sprawdzamy przez podstawienie, że gdy $x = -y$ , to wielomian ten jest tożsamościowo równy zeru; jest on zatem podzielny przez $x + y$ . W taki sam sposób stwierdzamy, że $L (x, y, z)$ jest podzielne przez $y + z$ i przez $z + x$ , zatem

$ L (x, y,z) = k(x + y) (y + z) (z + x). $

Ponieważ $L (x, y, z)$ jest stopnia trzeciego względem $x$ , $y$ , $z$ , więc współczynnik $k$ jest stałą, wobec czego równość (3) jest równoważna równości