I MEMO - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

I MEMO, 2007

Dodatnie liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunek

$ a+b+c+d=4. $

Wykazać, że

$ a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\le 4. $

Rozwiązanie

Obie strony nierówności nie zmienią się, jeżeli dokonamy cyklicznej permutacji zmiennych $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Możemy zatem przyjąć, że $a\ge c$ , gdyż w przeciwnym razie dokonamy cyklicznej permutacji $(a,b,c,d)\to(c,d,a,b)$ . Dalej, jeżeli $a\ge c$ oraz $b<d$ , to przeprowadzamy permutację $(a,b,c,d)\to(b,c,d,a)$ i otrzymujemy układ, w którym $a\ge c$ i $b\ge d$ .

Będziemy więc dalej zakładać, że $a\ge c$ oraz $b\ge d$ . Wynika stąd w szczególności nierówność

$ (a-c)(b-d)\ge 0, \quad\hbox{czyli równoważnie}\quad ab+cd\ge bc+ad. $

Wobec tego korzystając dwukrotnie z nierówności $xy\le({x+y\over 2})^2$ uzyskujemy

$ \begin{split}a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab& =ac(ab+cd)+bd(bc+ad)\le \cr &\le ac(ab+cd)+bd(ab+cd)= \cr &=(ac+bd)(ab+cd)\le\Bigl({ac+bd+ab+cd\over 2}\Bigr)^2= \cr &=\Bigl({(a+d)(b+c)\over 2}\Bigl)^2\le \Bigl({({a+d+b+c\over 2})^2\over 2}\Bigr)^2=4, \end{split} $

co kończy rozwiązanie zadania.