XIII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , żeby wielomian stopnia drugiego

$ (1) \qquad ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f $

był iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach rzeczywistych ?

Rozwiązanie

Zgodnie z tekstem zadania rozważamy tylko wielomiany o współczynnikach rzeczywistych.

Zajmiemy się najpierw przypadkiem, gdy w danym wielomianie (1) współczynnik $a \ne 0$ i napiszemy wielomian w postaci

$ (2) \qquad ax^2 + 2(by + d)x + (cy^2 + 2ey + f),\quad (a \ne 0). $

Jeżeli wielomian (2) równa się iloczynowi dwóch czynników stopnia pierwszego względem $x$ i $y$ , to każdy z tych czynników musi być stopnia pierwszego względem $x$ , tzn. wielomian (2) można przedstawić w postaci:

$ a (x - \alpha) (x - \beta), $

gdzie $\alpha$ i $\beta$ są funkcjami liniowymi zmiennej $y$ . Wyróżnik funkcji kwadratowej (2) zmiennej $x$

$ W = (by + d)^2 - a (cy^2 + 2ey + f) $

jest zatem kwadratem funkcji liniowej zmiennej $y$ . Otóż

$ (3) \qquad W = (b^2 - ac) y^2 + 2 (bd - ae) y + (d^2 - af), $

wiadomo zaś, że funkcja kwadratowa $Ay^2 + 2By + C$ jest wtedy i tylko wtedy kwadratem funkcji liniowej, gdy $A \geq 0$ , $C \geq 0$ , $B^2 - AC = 0$ . Funkcja $W$ jest więc kwadratem funkcji liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy

$(4) \qquad b^2 - ac \geq 0$

$(5) \qquad d^2 - af \geq 0$

$(6) \qquad (bd -ae)^2 - (b^2 - ac) (d^2 - af) = 0.$

Z równości (6) otrzymujemy po wykonaniu działań i podzieleniu przez różną od zera liczbę $a$ równość

$ (7) \qquad ae^2 + b^2f + cd^2 - acf - 2bde = 0. $

Znaleźliśmy warunki (4), (5) i (7), które są konieczne do tego, żeby wielomian (2), w którym $a \ne 0$ , był iloczynem czynników stopnia pierwszego. Warunki te są zarazem dostateczne. Gdy bowiem są one spełnione, to spełniony jest też warunek (6), wobec czego $W$ jest kwadratem funkcji liniowej zmiennej $y$ . Mianowicie gdy $b^2 - ac> 0$ , wtedy

$ W = \left( \sqrt{b^2 - ac} \cdot y + \frac{bd - ac}{\sqrt{b^2 - ac}} \right)^2, $

a gdy $b^2 - ac = 0$ , wtedy $W = d^2 - af$ ; wielomian (2) równa się iloczynowi:

$ (8) \qquad \frac{1}{a} (ax + by + d- \sqrt{W})(ax + by + d + \sqrt{W}),. $

Rozważmy z kolei przypadek, gdy w danym wielomianie (1) współczynnik $c \ne 0$ . Rozumowanie analogiczne do poprzedniego prowadzi do wniosku, że dany wielomian jest wtedy i tylko wtedy iloczynem czynników stopnia pierwszego, gdy jego współczynniki spełniają warunki:

$(4) \qquad b^2 - ac \geq 0$

$\nr{5a} e^2 - cf \geq 0$

$(7) \qquad ae^2 + b^2f + cd^2 - acf - 2bde = 0.$

Gdy warunki (4), (5a) i (7) są spełnione, wielomian (2) równa się iloczynowi

$ (9) \qquad \frac{1}{c} (bx + cy + e - \sqrt{W}) (bx + cy + e + \sqrt{W}), $

gdzie

$ W = \left( \sqrt{b^2 - ac} \cdot x + \frac{be - cd}{\sqrt{b^2 - ac}} \right)^2 ,\textrm{ gdy } b^2 - ac \ne 0, $

natomiast

$ W = e^2 - cf, \textrm{ gdy } b^2 - ac = 0. $

Zauważmy, że gdy $a \ne 0$ , $c \ne 0$ , układ warunków (4), (5), (7) jest równoważny układowi (4), (5a), (7), współczynniki rozkładów (8) i (9) są proporcjonalne.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy $a = 0$ i $c = 0$ ; wówczas $b \ne 0$ , gdyż funkcja (1) jest stopnia drugiego. Jeżeli jest ona iloczynem czynników stopnia pierwszego, to istnieją takie liczby $\alpha$ i $\beta$ , że dla każdego $x$ zachodzi równość

$ 2bxy + 2dx + 2ey + f = 2b (x + \alpha) (y + \beta). $

Porównując współczynniki odpowiednich wyrazów obu stron tej równości otrzymujemy

$ b\beta = d, \ b \alpha = e, \ 2b \alpha \beta = f. $

Stąd

$ (10) \qquad 2de = bf. $

Równość (10) jest więe warunkiem koniecznym istnienia żądanego rozkładu danego wielomianu. Jest to jednocześnie warunek dostateczny, gdy bowiem jest spełniony, wtedy

$ 2bxy + 2dx + 2ey + f = 2b \left(x + \frac{e}{b} \right) \left( y + \frac{d}{b} \right). $

Zauważmy, że gdy $a = c = 0$ , $b \ne 0$ , wtedy warunek (10) jest równoważny warunkowi (7).

Wynik powyższej dyskusji możemy sformułować, jak następuje.

Wielomian $ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f$ zmiennych $x$ i $y$ o współczynnikach rzeczywistych jest wtedy i tylko wtedy iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego tychże zmiennych o współczynnikach rzeczywistych, gdy

$ 1. \quad ae^2 + b^2f + cd^2 - acf - 2bde = 0 $

$ 2. \quad a \ne 0,\ b^2 - ac \geq 0,\ d^2 - af \geq 0 \textrm{ lub } c \ne 0,\ b^2 - ac \geq 0,\ e^2 - cf \geq 0 \textrm{ lub } a = c = 0, b \ne 0. $

Uwaga. W dziedzinie liczb zespolonych zachodzi twierdzenie: Wielomian $ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f$ zmiennych $x$ i $y$ jest wtedy i tylko wtedy iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego tychże zmiennych, gdy

$ 1. \quad ae^2 + b^2f + cd^2 - acf - 2bde = 0 $

$ 2. \quad a^2 + b^2 + c^2 \ne 0. $

Dowód tego twierdzenia łatwo przeprowadzić, wzorując się na rozumowaniu podanym wyżej.