XIII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XIII OM, 1961-1962

Etap:

Dowieść, że cztery odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami ciężkości ścian przeciwległych mają punkt wspólny.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę dwa z wymienionych w zadaniu odcinków. Niech np. $S$ będzie środkiem ciężkości ściany $ABC$ , a $T$ - środkiem ciężkości ściany $ABD$ czworościanu $ABCD$ (rys. 26).

Punkt $S$ leży na środkowej $CM$ trójkąta $ABC$ , a punkt $T$ na środkowej $DM$ trójkąta $ABD$ . Odcinki $DS$ i $CT$ leżą w trójkącie $CMD$ , więc przecinają się w pewnym punkcie $O$ . Ponieważ $MS = \frac{1}{3} MC$ , a $MT = \frac{1}{3} MD$ , więc trójkąty $SMT$ i $CMD$ są jednokładne względem punktu $M$ w stosunku $\frac{1}{3}$ , wobec czego $ST \parallel CD$ i $ST = \frac{1}{3} CD$ . Stąd wynika, że trójkąty $OST$ i $ODC$ są jednokładne względem punktu $O$ w stosunku $\frac{1}{3}$ . Zatem $OS = \frac{1}{3} OD$ , tzn. odcinek $CT$ przecina odcinek $SD$ w takim punkcie $O$ , który dzieli odcinek $SD$ w stosunku $1 \colon 3$ .

W powyższym rozumowaniu odcinek $CT$ można zastąpić odcinkiem łączącym punkt $A$ ze środkiem ciężkości trójkąta $BCD$ lub odcinkiem łączącym punkt $B$ ze środkiem ciężkości trójkąta $ACD$ . Punkt $O$ jest zatem punktem wspólnym wszystkich czterech rozważanych odcinków.